Mostrando que la clase de Aren de grupos cíclicos ' t Axiomatizable

Question

La clase de finito cíclico de los grupos no son axiomatizable, ya que si se supone que fueron por un conjunto de sentencias $\Sigma$, entonces no existiría un modelo para $\Sigma$ de, al menos, el fin de $n$ todos los $n \in \mathbb{N}$ (es decir, el modelo de $Z_{n+1}$ por cada $n$). Entonces tendríamos que hay también existe una infinita modelo así por el teorema de compacidad (y por lo tanto tendríamos una contradicción).

Pero, evidentemente, la teoría de todos los grupos cíclicos (incluyendo el infinito) son también no axiomatizable. ¿Por qué es esto así?

Answer 1

Básicamente la misma idea funciona: por arriba Lowenheim-Skolem, habrá modelos de arbitrariamente alta (en particular, incontable) cardinalidad. Pero un grupo de incontable no puede ser cíclico.

Answer 2

Supongamos que hay un conjunto de $\Sigma$ de primer orden de las oraciones tales que $\mathrm{Mod}(\Sigma)$ es la clase de todos los grupos cíclicos $(A,+)$. $m,n\in\mathbb Z\setminus\{0\}$, Que $\varphi_{m,n}(x,y)$ sea la fórmula $(x\ne0)\land(y\ne0)\land(mx\ne ny)$. Entonces $\Sigma\cup\{\varphi_{m,n}(x,y):m,n\in\mathbb Z\setminus\{0\}\}\ $ no es solicitado, aunque cada subconjunto finito es solicitado. Esto contradice el teorema de compacidad.

Answer 3

André respuesta proporciona una respuesta a su pregunta, pero el resultado puede ser fortalecidos: cíclica de los grupos no son axiomatisable incluso entre los grupos contables.

Esto es, en parte, porque la teoría de la $({\bf Z},+)$ no $\omega$categoría. Por ejemplo, ${\bf Z}\oplus {\bf Q}$ es elementarily equivalente, y evidentemente no es cíclico. De hecho, la teoría ha $2^{\aleph_0}$ nonisomorphic contables de los modelos. Para ver esto, observe que hay que muchas completa de los tipos de más de $\emptyset$.

Por otro lado, el uso de la clasificación teorema de finitely generado abelian grupos, uno puede mostrar que la cíclico grupos son de primaria en relación a la (no primaria) clase de finitely grupos generados.