Unidades en el anillo cociente de $\mathbb Z[X]$

Question

Un ejercicio de Dummit y Foote:

Determinar las unidades del anillo $A = \mathbb{Z}[X]/(X^{3})$ y la estructura de la unidad grupo $A^{\times}$.

Ayuda sería genial.

¡Gracias!

Answer 1

El truco fundamental es que hay un anillo-morfismo canónico $A=\mathbb Z[X]/(X^3)=\mathbb Z[x]\to \mathbb Z[X]/(X) \simeq\mathbb Z$ (¿por qué?) y que las unidades son enviadas a unidades de morfismos de anillo.
Así que cualquier unidad de $A$ es de la forma $u=a+bx+cx^2$ $a$ una unidad en $\mathbb Z$.
No te digo que $x$ es nilpotente: mis colegas de este sitio quisiera decir que estoy haciendo las cosas demasiado fáciles para usted.

Answer 2

Consejos para empezar: cada elemento de $A$ está representado por una única % polinomio $aX^2+bX+c$$a,b,c \in \mathbb{Z}$. Asegúrese de que usted ve por qué. Si tal elemento es una unidad, ¿qué se puede decir de $c$? ¿Hay algún requisito en $a,b$?