¿Es norma de Frobenius inducida por las normas del vector 2?

Question

Dejar en el espacio $V$definidos norma $ ||\cdot||_V $ y en el espacio $W$ define norma $ ||\cdot||_W $

Entonces considerar la norma del operador inducido por el 2% de las normas de vector $ ||\cdot||_V $y $ ||\cdot||_W $

$ ||A|| = \sup{\frac{||Ax||_W}{||x||_V}} $

¿Es que existe tal % de las normas de vector $ ||\cdot||_V $y $ ||\cdot||_W $ que norma de Frobenius inducida por esta normas?

Es bien sabido que para cualquier norma de matriz inducida por $ ||\cdot|| $, $ ||I|| = 1 $. Pero no es verdad para 2 diferentes normas en $V$ y $W$. ¿Puede alguien ayudar?

Answer 1

Puesto que la discusión sobre la norma de la identidad no funciona aquí, vamos a intentar la invarianza unitaria. La norma de Frobenius es unitario invariante ($\|A\|_F=\|PAQ^*\|_F$ para cualquier % unitario $P$y $Q$ de dimensiones adecuadas), así que si hubiera tales normas de vector inducción de la norma de Frobenius, necesitan ser unitario invariantes. La única norma de vector unitario invariantes es la norma euclidiana (o su múltiplo positivo), que induce la norma espectral.