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Question

El problema Estoy atascado en la pregunta al lector a encontrar el siguiente límite: $ de $$\lim_{n \rightarrow \infty} \int^{n}_{0} \left(1+\frac{x}{n}\right)^{-n} \log\left(2+ \cos\left(\frac{x}{n}\right)\right)\ \mathrm dx.$ la sección que estoy trabajando contiene todos su Teorema del límite básico en teoría de la medida (Teorema de convergencia dominada Teorema de convergencia monótona, lema de Fatou,). Sé que probablemente estoy supervisando una aplicación de uno de ellos. Ayuda sería mucho apreció.

Answer 1

$0 \leq y \leq 1$ Tenemos $\log(1+y) \geq y - y^2/2$, $0 < x \leq n$ tenemos

$$\begin{align} \left(1+\frac{x}{n}\right)^{-n} &= \exp\left[ -n \log\left(1+\frac{x}{n}\right)\right] \\ &\leq \exp\left[-n \left(\frac{x}{n} - \frac{x^2}{2n^2}\right)\right] \\ &= \exp\left[-x + \frac{x^2}{2n}\right] \\ &\leq \exp\left[-x + \frac{x^2}{2x}\right] \\ &= e^{-x/2}. \end {Alinee el} $$

Se aplican ahora convergencia dominada.

Answer 2

Sugerencias:

$$\ln(2+\cos(x/n)) \leq \ln(3).$$