Calcular la intensidad de la imagen sobre una superficie esférica bajo proyección ortográfica

Question

Me quedé atrapado en el siguiente ejercicio:

Considere la posibilidad de una superficie esférica de radio $r$ centrada en el origen con la ecuación:$$z = d - \sqrt{r^2 - x^2 - y^2}, \quad x^2 + y^2 \leq r$$. The surface is Lambertian with constant albedo $\rho_S = 1$, and is illuminated by a light source at a very large distance, from a direction defined by the unit vector $[a, b, c]$ with $c$ negative. The camera is on the negative $z$-eje. Muestran que la intensidad de la imagen bajo la proyección ortográfica está dada por: $$ E(x,y) = \frac{ax + by - c\sqrt{r^2 - x^2 - y^2}}{r}.$$

He hecho dos intentos para resolverlo.

Intento 1

La intensidad de la $I$ de una superficie en un punto determinado es: $$I = \rho_s I_i \vec{n} \cdot \vec{L}, $$ donde $I_i$ es la intensidad de la fuente de luz, $\vec{L}$ la dirección de la fuente de luz, y $\vec{n}$ la normal de la superficie en ese punto.

Si podemos reescribir la ecuación de la superficie como: $$d = \sqrt{r^2 - x^2 - y^2} + z$$ el normal es el gradiente de dicha función: $$\vec{n} = \left[ \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2 - y^2}}, \frac{-y}{\sqrt{r^2 - x^2 - y^2}}, 1 \right]$$

La intensidad de la imagen, entonces sería, simplemente ignorando $I_i$ y el uso de ese $\rho_s = 1$: $$ E(x,y) = \vec{n} \cdot \vec{L} = \frac {xa}{\sqrt{r^2 - x^2 - y^2}} + \frac{-yb}{\sqrt{r^2 - x^2 - y^2}} + c$$

Lo que evidentemente no es la correcta función.

Intento 2

He encontrado que la normal de una esfera es: $$\vec{n} = \left[x, y, \sqrt{r^2 - x^2 - y^2} \right].$$ Si queremos calcular la intensidad de la imagen, una vez más, ignorando $I_i$ y el uso de ese $\rho_s = 1$: $$E(x,y) = - ax - by + c\sqrt{r^2 - x^2 - y^2}$$ Que es una vez más el mal, pero se parece más a la respuesta correcta.

Lo que me deja con la pregunta, ¿cómo puedo resolver este ejercicio?

Answer 1

Una esfera centrada en el origen implica $d=0$. Además, porque está centrada en el origen, la unidad vector normal siempre es $\hat{r}=(x\hat x + y\hat y + z\hat z)/r$ donde $z=-\sqrt{r^2-x^2-y^2}$. El sombrero de la notación implica un vector unitario en esa dirección. Por ejemplo, $\hat x=[1,0,0]$ es un vector unitario en la $x$ dirección. A continuación, la normalizado de la intensidad de luz que incide sobre la esfera en la posición $\vec{r}$ es proporcional a $\hat{r}\cdot\hat u$ (tal como se señaló en el intento 1) donde:$\hat u = [a,b,c]$. Expandiendo el producto escalar de da $$\hat{r}\cdot\hat u = \frac{1}{r}[x,y,z]\cdot[a,b,c]=\frac{ax+by+cz}{r}=\frac{ax+by-c\sqrt{r^2-x^2-y^2}}{r}$$

En cuanto a la pregunta, uno puede tomar el gradiente de la función que describe una superficie de valor constante para encontrar el vector normal a la superficie. En este caso nos fijamos en las superficies de radio constante, $r(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Esto le da a $\nabla r = \hat r$ desde arriba. Tenga en cuenta que este vector ya está normalizado, pero el gradiente no siempre devuelven un vector unitario.

Una observación final es que usted debe asegurarse de que los dos vectores el producto escalar son vectores unitarios en orden para que la fórmula de trabajo. Si usted acaba de tener cualquier vector normal a la superficie, a continuación, tendrá que dividir por su longitud.

-- Apéndice --

Si la esfera no está centrada en el origen, sino en la posición $[x_0,y_0,z_0]$, a continuación, la función que describe una superficie esférica alrededor de ese punto sería $r(x,y,z)=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}$. En este caso, el gradiente de $r$ da $\nabla r = [x-x_0,y-y_0,z-z_0]/r=[x-x_0,y-y_0,z_0 \pm \sqrt{r^2-(x-x_0)^2-(y-y_0)^2}]/r$, lo que de nuevo pasa a ser un vector unitario. El $\pm$ proviene del hecho de que usted tiene dos opciones para elegir (como las de las $\pm$ en la ecuación cuadrática).