Un campo finito no puede ser un orden de campo.

Question

Estoy leyendo bebé Rudin y se dice que ordenó a todos los campos con el supremum de la propiedad son isomorfos a $\mathbb R$. Ya que todos ordenado finito campos habría supremum de la propiedad que debe significar que no existe ninguno. Podría por favor alguien me muestre una prueba de ello?

Muchas gracias, Saludos.

Answer 1

SUGERENCIA: Suponga que $(F,0,1,+,\cdot,<)$ es un orden de campo que es finito de característica $p$. A continuación,$0<1<1+1<\ldots$, la conclusión de una contradicción.

Answer 2

Sugerencia $\ $ En un anillo de pedida,el lado positivo es cerrado bajo la suma (por lo que una suma de positivos es $\ne 0$).

Comentario $\ $ Más en general, tenga en cuenta que linealmente ordenado grupos de torsión libre: $\rm\: 0\ne n\in \mathbb N,$ $\rm\:g>0 \:\Rightarrow\: n\cdot g = g +\cdots + g > 0,\:$ desde el lado positivo es cerrado bajo la suma. Por el contrario, una de torsión libre conmutativa grupo puede ser linealmente ordenado (Levi, $1942$).

Answer 3

Sugerencia: cualquier campo finito debe tener un valor distinto de cero característica.