¿Por qué son útiles los logaritmos de funciones trigonométricas?

Question

He notado que en muchas tablas trigonométricas el logaritmo de la trigonométricas de los valores.

¿Por qué este y no los valores de las funciones trigonométricas? Por ejemplo, en lugar de incluir el valor de $\sin(43^\circ)$, es el valor de $\log(\sin(43^\circ))$ que está en la lista.

La única razón por la que cam vienen con es que en el uso de la ley de $\sin$: $$\frac{\sin(Un)}{a} = \frac{\sin(B)}{b}$$ tomando logaritmos en ambos lados uno se $$\log(\sin(A)) - \log(a) = \log(\sin(B)) - \log(b)$$ lo que es más fácil de usar esa fórmula específica.

Pero esto no iba a funcionar con la ley del coseno.

Hay otras razones para preferir los logaritmos de las funciones trigonométricas sólo sobre los valores de las funciones trigonométricas?

Answer 1

Respuesta corta: la razón principal es La simplificación de la reducción de la multiplicación y la división de la suma y la resta.

Aspectos históricos: Una aplicación que está fuertemente basado en fórmulas trigonométricas es la Geometría Esférica. Este reino por ejemplo, importantes para la astronomía y la geodesia utilizado logarítmica tablas de funciones trigonométricas, desde el principio, desde los logaritmos se han publicado en $1614$ por John Napier.

Si nos fijamos por ejemplo en el Coseno Reglas $$\begin{align*} \cos a &= \cos b \cos c + \sin b\sin c \cos A\\ \cos b &= \cos c \cos a + \sin c\sin a \cos B\\ \cos c &= \cos a \cos b + \sin a\sin b \cos C\\ \end{align*}$$ o uno de Napier de analogías $$\begin{align*} \tan \frac{1}{2}(A+B)=\frac{\cos \frac{1}{2}(a-b)}{\cos \frac{1}{2}(a+b)}\cot \frac{1}{2}C \end{align*}$$

podemos tener una idea de la cantidad de tiempo que podría ser salvado mediante el cálculo de estas multiplicaciones y divisiones con la ayuda de los logaritmos.

De hecho, la primera presentación de los logaritmos en Juan Napiers famoso libro Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio / La Descripción de la Maravillosa Canon de Logaritmo ya contiene el cálculo de logaritmos de los senos y tangentes valores.

Napier escribió en el prefacio de su Mirifici Logarithmorum:

Ya que nada es más tedioso, compañeros matemáticos, en la práctica de la matemática de las artes, de las grandes retrasos en el tedio de las largas multiplicaciones y divisiones, el descubrimiento de las proporciones, y en la extracción de cuadrado y el cubo de raíces y en el que no sólo existe el tiempo de retardo a considerarse, pero también la molestia de los muchos resbaladizo de los errores que pueden surgir ...

(al terminar el prefacio)

EN LOGARITMOS. Por que todos los senos, tangentes y secantes, se establecen para usted de gran trabajo y prolijidad; Y que esta pequeña tabla de Logaritmos, amable lector, Da a todos a la vez, sin gran trabajo.

Answer 2

Debido a que logaritms symplify todos. Una buena tabla de logaritmos y tablas de valor bastante precisos de funciones trigonométricas hacer dichas tablas inútil. Buenas rutinas de división y multiplicación aproximado hacen logaritma historia... Buenas rutinas para aproximada gamma function(x!) (aproximación de lancosz) hacen striling fórmulas y fórmulas para log(x!) inútil. Así abriged multiplicación y fórmula abriged por división aproximada será suficiente renonce fi en registros.