Teoría de categorías para la investigación de la teoría de grafos

Question

Estoy investigando en teoría algebraica de grafos, centrándome en la relación entre grafos y grupos (especialmente la representación de grupos como grafos) para mi doctorado. En particular, una de las ideas es estudiar grupos utilizando sus endomorfismos y definir grafos relacionados.

1. ¿Pueden ser útiles en este campo las ideas de la teoría de categorías?
2. En caso afirmativo, ¿qué libro sería una mejor introducción a la teoría de categorías desde el punto de vista de alguien interesado en el álgebra y la teoría de grafos?

He mirado otras preguntas sobre recomendaciones de libros para teoría de categorías, pero piden libros relacionados con teoría de conjuntos y fundamentos, o programación, o piden una introducción general. También, la primera pregunta es más importante que la segunda y me gustaría conocer la opinión de expertos en teoría de categorías sobre posibles aplicaciones en la investigación de la teoría de grafos y el álgebra. Por favor, dígame si debo añadir más detalles.

Answer 1

El libro categorías para el matemático en activo de Saunder's MacLane, es muy recomendable. Aunque nunca he llegado a leerlo, su título es muy prometedor. Tenga en cuenta que Saunder's MacLane fue uno de los primeros teóricos de las categorías.

Un ejemplo explícito de cómo la teoría de grafos y la teoría de categorías colaboran para demostrar resultados sobre grupos es el conocido vínculo entre la categoría de grafos y los subgrupos de grupos libres. La referencia clásica es Topology of Finite Graphs, de Stallings. Por ejemplo, si la componente no diagonal del producto fibra de un grafo consigo mismo es simplemente conexa, el subgrupo correspondiente es malnormal. Dani Wise trasladó esta idea a la categoría más general de "complejos cúbicos", lo que le permitió demostrar algunos famosos problemas abiertos en teoría de grupos y G&T (por ejemplo, demostró la conjetura virtual de Haken, y que todo grupo de un relator con torsión es residualmente finito). He encontrado el artículo de Wise La finitud residual de los grupos positivos de un solo relator ser especialmente útil.

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Dices que quieres usar la teoría de categorías y grafos para ver endomorfismos de grupos. Bueno, una de las cuestiones que atacaba en mi tesis doctoral era la siguiente.

Fijar una clase de grupos $\mathcal{C}$ . ¿Cualquier grupo (contable) es el grupo de automorfismo exterior de un grupo de la clase $\mathcal{C}$ ?

He arreglado una clase $\mathcal{C}$ y conseguí demostrar que el resultado anterior era válido para esta clase siempre y cuando pudiera demostrar que cierto grupo (en realidad, una clase de grupos muy parecidos) tenía un subgrupo malnormal (con ciertas propiedades adicionales). Entonces, tomé el producto fibra de un "subgrupo" en el grupo libre ambiente y (con un poco de esfuerzo) demostré que su malnormalidad recaía en mi grupo.

Esto no responde del todo a su pregunta, pero me pareció lo suficientemente relevante como para mencionarlo. Si lo desea, puedo enviarle una copia de mi tesis.