Encontrar el área de un anillo con una medición

Question

Supongamos que usted tiene una piscina circular de lava (la razón para que el contenido sea claro en un momento) y en el centro de la piscina es una circular de césped. Con una sola línea recta de medición, determinar el área del césped de lava.

El instrumento de medición que se tiene es un láser de tránsito, con la cual usted puede buscar a través de un telescopio, elija una de polo a su asistente que está sosteniendo, y tras la lectura de la distancia desde el tránsito a la pole. Debido a que usted y su asistente no puede pararse en la lava, no se puede utilizar la evidente estrategia de medir el diámetro del césped, pero usted puede encontrar la distancia entre dos puntos fuera de la lava. ¿Cómo se puede encontrar el área del césped de lava?

EDITAR:

Una disculpa está en orden aquí. Que aparentemente estaba pasando un cerebro de piedra cuando he publicado la pregunta original. Debería haber preguntado lo que la zona de la lava fue. Los comentarios ya han respondido a la pregunta.

Mi verdadero propósito fue observar que la medición de la cuerda se le dará a la zona de la lava, independientemente de lo que el diámetro de la piscina y la lava que fueron, por lo que podría reducir el césped de diámetro a cero y el acorde de te permita calcular el área de la lava. De esta manera, el problema es como la pregunta de la geometría espacial agujero en la esfera.

Mi eventual pregunta iba a ser, ¿alguien sabe de problemas similares, donde la respuesta no requiere uno de los parámetros del problema y por lo tanto puede ser resuelto mediante el establecimiento de dicho parámetro a cero?

Answer 1

En primer lugar, encontrar las longitudes $\ell$ de dos acordes de la gran círculo de compartir un punto final común $A$ y tocando el círculo pequeño. A continuación, encontrar la distancia a $k$ entre sus extremos opuestos.

A continuación, voy a mostrar que (sorprendentemente) $k$ cancela, para que usted realmente sólo necesita $\ell$.

Usted tiene un triángulo isósceles con dos lados de longitud $\ell$, y el pequeño círculo que toca a los dos lados en sus puntos medios. Deje $C$ ser el centro de los círculos. Deje $B$ ser el punto medio de una cuerda de longitud $\ell$. A continuación, $ABC$ es un triángulo con un ángulo recto en $B$. La altura de la gran triángulo isósceles es de $\sqrt{\ell^2-\left(\frac k2\right)^2}$. El triángulo $ABC$ es similar a la mitad del triángulo isósceles con las piernas $k/2$ $\sqrt{\ell^2-\left(\frac k2\right)^2}$ y la hipotenusa $\ell$. Triángulo $ABC$ tiene las piernas $\ell/2$$r$, donde el último es el radio del círculo pequeño. Por lo tanto $$ \frac{r}{\ell/2} = \frac{k/2}{\sqrt{\ell^2-\left(\frac k2\right)^2}} $$ Por lo tanto $$ r = \frac{k\ell}{2\sqrt{4\ell^2-k^2}}. $$

Si uno quiere también el radio de la gran círculo, que es el radio del círculo circunscrito de un triángulo con las longitudes de los lados $\ell$, $\ell$, y $k$. Si no me equivoco eso es $$ R = \frac {\ell^2}{\sqrt{4\ell^2-k^2}}. $$ Por lo general, un triángulo con lados de $a,b,c$ ha circunscrito el radio del círculo $$ \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}. $$ El área entre los círculos es $$ \pi(R^2-r^2) = \pi\left(\frac \ell 2\right)^2. $$

Por lo tanto, usted no necesita saber $k$. Usted necesita sólo $\ell$, por lo que realmente puede hacer esto con sólo una medición.

Answer 2

Un problema similar en tres dimensiones es el problema del "Agujero en la esfera". Si se taladra un agujero cilíndrico en una esfera, el volumen restante de la esfera depende solamente de la altura del agujero - es independiente del diámetro del agujero o del diámetro de la esfera.