¿Existe una solución analítica para esta oda no lineal?

Question

Existe una solución analítica para el no lineal de la educación a distancia $$\frac{dx}{d\theta} = -\sqrt{\frac{x^2}{4\cos^2\theta} - \cos^2\theta}$$ más de $\theta \in [0, \pi/2]$ con condición inicial $x(0) = 2$? Mediante la sustitución de $y = \sin\theta$, que fue capaz de transformar a éste en $$\frac{dx}{dy} = -\sqrt{\frac{x^2-4(1-y^2)^2}{4(1-y^2)^2}},$$ pero no podía conseguir mucho más.

Contexto: En un típico mundo, sólo se puede ver la mitad de la tierra en un momento. Waldo Tobler las diapositivas en "Inusual de Proyecciones de Mapas de" mencionar las siguientes divertido solución a este problema: simplemente envuelva la tierra en todo el mundo dos veces (ver imagen).

En tratando de encontrar una estética agradable de conformación de la versión de esta construcción por el cambio de la forma del mundo, me encontré con la necesidad de resolver el anterior ODA a determinar su sección transversal; en concreto, la asignación de latitud $\theta$ a distancia desde el eje polar, $x(\theta)$.

Puede ser resuelto numéricamente, por supuesto, y eso es lo que hice. Tengo curiosidad acerca de si una solución analítica existe. La solución numérica se parece mucho a $x(\theta) = 2\sqrt{\cos\theta}$, pero no es exactamente la misma.

En caso de que usted es curioso, aquí es un render de el resultado final de mi hacking en todo esto.

Answer 1

Se puede aplicar el siguiente procedimiento muestra que esta ecuación es de hecho susceptibles a una exacta tratamiento analítico. La primera cosa a tener en cuenta es que puede ser reescrita de la siguiente forma

$$\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2-\frac{x^2}{4\cos^2\theta}+\cos^2\theta=0.$$

Ahora, consideremos el Hamiltoniano del sistema

$$H=p^2-\frac{x^2}{4\cos^2\theta}+\cos^2\theta.$$

Es fácil notar que, para$p(0)=0$$x(0)=2$, uno ha $H(\theta=0)=0$. Así, una solución de las ecuaciones de Hamilton (aquí el punto medio de la derivación con respecto a $\theta$)

$$\dot x=\frac{\partial H}{\partial p}=2p$$ $$\dot p=-\frac{\partial H}{\partial x}=\frac{x}{2\cos^2\theta}$$

da también una solución de la ecuación empezamos. Desde Hamilton ecuaciones obtenemos

$$\ddot x=\frac{x}{\cos^2\theta}$$

con las condiciones iniciales $\dot x(0)=0$$x(0)=2$. Este segundo orden de la ecuación tiene una explícita de la solución analítica, a través de funciones hipergeométricas $\left._2F_1\right.$$\cos t$, que puede ser fácilmente obtenida usando Mathematica o su otro preferido manipulación simbólica de software.