Torsión en la homología de un subconjunto $E \subset \Bbb R^n$ $n≤2$

Question

Para $n \in \{1,2\}$, existe un subconjunto $E \subset \Bbb R^n$ tal que uno de sus (en singular) homología de grupos de $H_k(E)$ tiene un elemento de orden finito?

Según Es el grupo fundamental de cada subconjunto de $\mathbb{R}^2$ torsión libre?, $\pi_1(E)$ es de torsiones, sino $H_1(E) = \pi_1(E)/[\pi_1(E),\pi_1(E)]$ podría tener la torsión de los elementos. De acuerdo a este enlace en el MO (o este), un teorema de la Eda, se dice que esta es imposible encontrar subconjuntos de a $\Bbb R^n$ $n=2$ (luego también la $n=1$). [Por cierto, no estoy seguro de saber a partir de este MO hilo si la respuesta es completamente conocido por $n=3$].

No tengo una copia de este artículo, pero el título de "grupo Fundamental de la subconjuntos del plano" sugiere que esto solo demuestra el hecho de que $\pi_1(E)$ es de torsiones. No veo cómo esto puede responder a mi pregunta sobre la homología de grupos. Preguntas relacionadas con: (1), (2).

Gracias por sus comentarios!

Answer 1

Yo no sé acerca de Eda papel, pero Fischer-Zastrow demostrar que para cualquier subconjunto de un sistema cerrado orientado a la superficie $X$, $\pi_1(X)$ es (muchas cosas, pero en particular) localmente libre: que cada finitely generado subgrupo es libre. Pero si hubo un elemento distinto de cero $x$ $x^n \in [\pi_1, \pi_1]$ (sino $x$ o no tanto), podríamos escribir $x^n = [g_1, h_1] \cdots [g_n, h_n]$. Esto proporcionaría una relación no trivial en el subgrupo generado por a $x, [g_i, h_i]$, ya que el $x$ no puede ser expresado en términos de los últimos elementos por sí solos.