¿Cuál será el valor mínimo de $$\frac{p^2}{\tan9^\circ} + \frac{q^2}{\tan27^\circ} + \frac{r^2}{\tan63^\circ} + \frac{s^2}{\tan81^\circ}$$ si $$p+q+r+s=5$$ donde $p, q, r, s$ ¿son reales positivos? He intentado aplicar la desigualdad AM-GM pero no ha servido de nada.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$(\tan9^\circ+\tan27^\circ+\tan63^\circ+\tan81^\circ) \left ( \frac{p^2}{\tan9^\circ} + \frac{q^2}{\tan27^\circ} + \frac{r^2}{\tan63^\circ} + \frac{s^2}{\tan81^\circ} \right ) \geq {(p+q+r+s)}^2=5^2$
De Cauchy-Schwarz
Por lo tanto, $$\frac{p^2}{\tan9^\circ} + \frac{q^2}{\tan27^\circ} + \frac{r^2}{\tan63^\circ} + \frac{s^2}{\tan81^\circ} \, \, \, \,\geq \frac{ 5^2 }{\tan9^\circ+\tan27^\circ+\tan63^\circ+\tan81^\circ }$$ Entonces toma $$p = \frac{ 5 \tan9^\circ}{\tan9^\circ+\tan27^\circ+\tan63^\circ+\tan81^\circ}$$ $$q = \frac{ 5 \tan27^\circ}{\tan9^\circ+\tan27^\circ+\tan63^\circ+\tan81^\circ}$$ $$r = \frac{ 5 \tan63^\circ}{\tan9^\circ+\tan27^\circ+\tan63^\circ+\tan81^\circ}$$ $$s = \frac{ 5 \tan81^\circ}{\tan9^\circ+\tan27^\circ+\tan63^\circ+\tan81^\circ}$$ Y resumiendo. Tenga en cuenta que esos $ \tan $ son positivos
