Usar una instrucción para probar su converse

Question

Supongamos que usamos el $P\implies Q$ en una prueba de su % de converse $Q\implies P$. Si entonces podemos establecer por otros medios que $P\implies Q$ es cierto, ¿significa esto que hemos demostrado $P\iff Q$? ¿O es la primera prueba defectuosa en un cierto respeto por haber usado una implicación en la prueba de su propia converse?

Answer 1

Asumir la inversa de una implicación cuando tratando de demostrar la implicación no sólo no es defectuoso, no es en realidad la admisibilidad de una prueba técnica: si usted ha demostrado ser $(P \implies Q) \implies (Q \implies P)$, entonces usted puede probar $Q \implies P$, independientemente de si $P \implies Q$ es comprobable o no. Para ver esto, ni la razón, por tanto, en deducción natural estilo:

1. $(P \implies Q) \implies (Q \implies P)$ (asunción)
2. $Q$ (asunción)
3. $P \implies Q$ (2, $\implies$-introducción el desempeño de la (inexistente) suposición $P$)
4. $Q \implies P$ (1, 3, $\implies$-eliminación)
5. $P$ (2, 4, $\implies$-eliminación)
6. $Q \implies P$ (5, $\implies$-introducción el desempeño de la hipótesis 2)
7. $((P \implies Q) \implies (Q \implies P)) \implies (Q \implies P)$ (6, $\implies$-introducción el desempeño de la hipótesis 1).

o elaborar la tabla de verdad de la fórmula en el paso 7.

Así que al final de su primera prueba, se puede concluir que $Q \implies P$ con ninguna suposición. Entonces, si usted puede demostrar $P \implies Q$, han demostrado ser $P \iff Q$.

Answer 2

Creo que es válido también. Puede ver el resultado con el método de Quine en lógica matemática.