Cómo puedo encontrar el valor de este límite

Question

$$\lim _{ { x }\to { 0 } }{ \frac { \sin x-\arctan x }{ {x }^{ 2 }\log(1+x) } }$$

este log es logaritmo natural

Answer 1

Usando la expansión de la serie

$$\frac{\sin x-\arctan x}{x^2\log(1+x)}$$

$$=\frac{x-\frac {x^3}{3!}+O(x^5)-\{x-\frac {x^3}3++O(x^5)\}}{x^3}\cdot\frac1{\frac{\ln(1+x)}x}$$

$$=\frac{x^3(\frac13-\frac16)+O(x^5)}{x^3}\cdot\frac1{\frac{\ln(1+x)}x}$$

$$=\{\frac16+O(x^2)\}\cdot\frac1{\frac{\ln(1+x)}x}\text{ if }x\ne0$$

Si $x\to0,x\ne0$