Más integrales de cálculo

Question

Este problema en particular me ha estado dando problemas, y aunque los tutores del departamento de matemáticas me ayudaron mucho, la respuesta resultante no ha sido aceptada por el sitio web de entrega de tareas en línea. Encuentra la integral definida de

$$\int\frac{x(x+1)}{2x^{3}+3x^{2}-13}$$

El trabajo realizado hasta ahora con la ayuda de los tutores es

$$\int\frac{x(x+1)}{2x^{3}+3x^{2}-13} = \int\frac{x^{2}+x}{2x^{3}+3x^{2}-13}$$ Sea u= $2x^{3}+3x^{2}-13$
y ${u}'= 6x^{2}+6x = 6(x^{2}+x)$

$$\int\frac{1}{6}\cdot\frac{{u}'}{u}= \frac{1}{6}\int\frac{{u}'}{u}$$ $$\frac{1}{6}\ln~u= \frac{1}{6}\ln(2x^{3}+3x^{2}-13)+C$$

¿Qué falta en esta solución?

Answer 1

Lo que falta es lo que está integrando con respecto a. Tienes que poner un $ dx $ en las 3 primeras integrales de tu post (y un $ du $ en cualquier integral que implique $ u $ ). Nuestra integral es $ \int \frac{x^2 + x}{2x^3 + 3x^2 - 13} \ dx $ . Hacemos la sustitución $ u = 2x^3 + 3x^2 - 13 $ . Esto nos da $ \frac{du}{dx} = 6x^2 + 6x = 6(x^2 + x) $ y así $ dx = \frac{du}{6(x^2+x)} $ . Cuando sustituimos esto en la integral, el $ x^2 + x $ cancela para dar $ \int \frac{1}{6} \frac{1}{u} \ du $ . Esto se evalúa como $ \frac{1}{6} \ln{|u|} + C $ . A continuación, volvemos a sustituir por $ x $ , para dejar $ \frac{1}{6}\ln{|2x^3 + 3x^2 - 13|} + C.$

Tenga en cuenta que no era necesaria una sustitución. En general, $ \int \frac{f'(x)}{f(x)} \ dx = \ln{|f(x)|} + C $ . En este caso, tenemos algo de la forma $ \int \frac{ k f'(x)}{f(x)} \ dx $ , donde $ k $ es una constante. Así que podemos integrar directamente para dar $ \int \frac{ k f'(x)}{f(x)} \ dx = k \ln{|f(x)|} + D $ . Sólo tienes que ver que el numerador del integrando es un múltiplo constante de la derivada del denominador.

Answer 2

Posiblemente la omisión del signo de valor absoluto de $$\int dx/x = \ln|x| + C$$
podría ser la raíz del problema.

Answer 3

Ncmathsadist probablemente tiene razón, es el valor absoluto que falta, pero si yo estuviera escribiendo el software lo rechazaría por usar $\ln$ en lugar de $\log$ . Enseño en mis clases que una vez que se llega al Cálculo se tiene muy poca utilidad para cualquier logaritmo que no sea el natural, y la práctica estándar en las matemáticas superiores es utilizar $\log$ para el logaritmo natural.