¿Por qué no sostiene Seifert-Van Kampen con grupos de homotopía de $n$-th?

Question

Mi pregunta se refiere a la Seifert-Van Kampen teorema, en el siguiente formulario.

Deje $X$ ser un arco-sabio conectado topológica del espacio, considere la posibilidad de un poin $x_{0}\in X$, y deje $\{U_{i}\}_{i\in I}$ ser un cubrimiento por archwise conectado a abrir los subconjuntos de a $X$ tal que $x_{0}\in U_{i}$ todos los $i\in I$, e $U_{i}\cap U_{j}\in \{U_{i}\}_{i\in I}$ todos los $i,j\in I$.

Para cualquiera de los dos elementos de la cubierta $U_{i}$, $U_{j}$ tal que $U_{i}\subseteq U_{j}$, vamos a $\phi_{ij}:\pi_{1}(U_{i},x_{0})\longrightarrow \pi_{1}(U_{j},x_{0})$ ser el mapa inducida por la inclusión. Del mismo modo, para cualquier elemento de la cubierta $U_{i}$, vamos a $\tau_{i}:\pi_{1}(U_{i},x_{0})\longrightarrow \pi_{1}(X,x_{0})$ ser el mapa inducida por la inclusión.

Deje $H$ ser un grupo y $\rho_{i}:\pi_{1}(U_{i},x_{0})\longrightarrow H$ cualquier colección de homomorphisms definido para todos los $i\in I$ y de tal manera que si $U_{i}\subseteq U_{j}$$\rho_{i}=\rho_{j}\circ \phi_{ij}$. Entonces, existe un único homomorphism $\lambda:\pi_{1}(X,x_{0})\longrightarrow H$ tal que $\rho_{i} = \lambda \circ \tau_{i}$, para todos los $i\in I$. Además, esta asignación universal condición caracteriza $\pi_{1}(X,x_{0})$ hasta un único isomorfismo.

Es bien sabido que esta norma no siempre se cumple si tenemos en cuenta $n$-th homotopy grupos con $n\geq 2$, y creo que fácil ejemplos de este hecho podría ser construido. Sin embargo, me gustaría entender el valor intrínseco de las razones detrás de este fenómeno. Nos puede casi decir que la prueba de Seifert-Van Kampen se divide en dos partes.

(1) Con la notación anterior, el grupo $\pi_{1}(X,x_{0})$ es generado por la unión de las imágenes de $\pi_{1}(U_{i},x_{0})$ a través de los mapas $\tau_{i}$.

(2)$[\alpha]\in\pi_{1}(X,x_{0})$, considere la descomposición $[\alpha]= [\alpha_{1}]...[\alpha_{n}]$ en el punto (1). A continuación, los morfismos $\lambda([\alpha])=\rho_{1}([\alpha_{1}])...\rho_{n}([\alpha_{n}])$ está bien definido.

Que una de las dos partes falla con $n$-th homotopy grupos? Por qué?

Answer 1

Le preguntas a un muy sutil pregunta!

Uno de los intrínseca de las razones es que en homotopy teoría de las identificaciones en bajas dimensiones en un espacio que suelen tener un alto dimensiones influencias. Un ejemplo fácil es colocar un bigote a una esfera, es decir, la forma $X=S^n \vee [0.1], n >1$. Esto tiene el mismo homotopy tipo como $S^n$. Ahora identificar a $0$$1$$X$, una identificación en la dimensión $0$, para formar $S^n \vee S^1$. El $n$-th homotopy grupo ha cambiado! Hay muchas más complicado ejemplos, y esta es la norma.

La respuesta que me han perseguido a lo largo de décadas, es que uno necesita "invariantes", que tiene la estructura en una serie de dimensiones. Cómo encontrar y demostrar teoremas? Resulta que las formas de múltiples groupoids hacer un trabajo útil, pero ellos están muy bien definidos, y llevar a los cálculos, no por espacios, pero para espacios con la estructura. Las estructuras que han trabajado de esta manera se filtra espacios y $n$-cubos de espacios. Ver mi presentación Galway como un inicio, pero que se explica sólo filtrada espacios.

Parte de la confusión es que un espacio con punto base se parece mucho como un espacio, pero tal vez debería ser visto como profundamente diferente! Homotopy grupos se definen para la primera, pero no para el segundo. Así que uno está buscando functors

$\Pi: ($datos topológicos$) \to ($algebraica de datos$) $

que la preservación de ciertos colimits. Resulta que el último algebraicas datos vienen en muchas formas equivalentes cuando se incluyen las dimensiones de $>1$, en parte debido a las muchas formas de conjuntos convexos en el espacio Euclidiano de las dimensiones de $>1$.

Con respecto a tus preguntas,$1,2$, en las dimensiones superiores, usted tiene que considerar las dimensiones superiores composiciones, y estas son las que mejor se expresa cubically. Así, en la dimensión de $2$ tenemos en cuenta los siguientes diagramas.

De izquierda a derecha es la subdivisión, pero va de derecha a izquierda debe ser la composición. Necesitamos algebraicas inversos a la subdivisión y un homotopically definido gadget que puede expresar esto. Cómo hemos llegado a una respuesta exitosa a este en todas las dimensiones se describe en la presentación de Galway. Tenga en cuenta que la "doble grupos" son sólo abelian grupos, por lo que el intercambio de ley (es decir, Eckmann-Hilton argumento), mientras que el doble groupoids son mucho más complicados que los grupos, y de manera más capaces de expresar las complicaciones de la homotopy la teoría en la dimensión de $2$. El libro Nonabelian Topología Algebraica (pdf disponible) explica la historia y las intuiciones, antes del desarrollo de la teoría.

También resulta que uno necesita dos tipos algebraico de los datos, de la cual he llamado "amplio" y "estrecho" en el Galway hablar. Los datos generales es para las conjeturas y demostrar teoremas, mientras que el estrecho de datos se utiliza para la relación con la teoría clásica, y para los cálculos. Una parte sustancial de la obra es demostrar algebraicamente que estas dos categorías de datos son equivalentes, de modo que uno puede saltar de uno a otro como se desee.

Geométricamente, estos dos tipos de datos están relacionados con el uso de los cubos y los discos en la definición de homotopical construcciones, tales como homotopy grupos. Todo esto funciona muy bien si la topológico de datos se filtran los espacios, donde$\Pi X_*$, $X_*$ un filtrado del espacio, se construye utilizando fundamental groupoids y relativa homotopy grupos, dando cruzado complejos, el estrecho de modelo, mientras que un menos conocidos de la construcción, $\rho X_*$, según el modelo de cubos, da la "amplia" del modelo, lo que nos permite expresar la composición y la subdivisión en muchas dimensiones. Los cubos son también muy útiles en el habla de los productos y homotopies, debido a la regla de $I^m \times I^n \cong I^{m+n}$.

El de arriba permite que el homotopical enfoque básico de la topología algebraica, sin el uso de homología singular, que se describe en el libro Nonabelian Topología Algebraica. Para obtener más uno necesita un poco de mucho más complicado gadgets, llamado cat$^n$-grupos, y cruzó $n$-cubos de grupos, para las que no existe un estudio artículo aquí. Ha habido quejas sobre esta teoría, por ejemplo, que no tuvo éxito en el cálculo de mayor homotopy grupos de esferas, pero pocos topologists han trabajado en ella, ya que permite que los cálculos que antes no estaban disponibles de homotopy tipos de algunos complejos, mientras que el grupo de teóricos han gustado los nonabelian tensor de producto que surgió de algunos pushout cálculos, está relacionado con el colector de la teoría, y ahora tiene una bibliografía de artículos 133.