encontrar el número racional que la fracción continua $[1;1,2,1,1,2,\ldots]$ representa

Question

Me encantaría que me ayudaran a encontrar el número racional que la fracción continuada $[1;1,2,1,1,2,\ldots]$ representa.

Con la recursión para la fracción continua $( p_0=a_0, q_0=1, p_{-1}=1, q_{-1}=o), q_s=a_sq_{s-1}+q_{s-2},p_s=a_sp_{s-1}+p_{s-2}$ . Me enteré de que el $p_k=1,2,5,7,12,32, q_k=1,1,3,4,7,18 $ (¿algo especial sobre estas series? ¿tal vez me equivoqué?), y sé que $r=\lim_{c_k}=\lim\frac{p_k}{q_k}$ pero no veo nada especial en $p_k, q_k$ o la relación entre ellos, ¿alguna ayuda?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Tenemos que $$\Large x=1+\frac{1}{1+\frac{1}{2\,+\,\frac{1}{1\,+\,\frac{1}{1\,+\,\frac{1}{2\,+\,\cdots}}}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{x}}}$$ para que $$\frac{1}{x-1}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{x}}$$ por lo que $$\frac{1}{\frac{1}{x-1}-1}=\frac{1}{\frac{1}{x-1}-\frac{x-1}{x-1}}=\frac{1}{\frac{2-x}{x-1}}=\frac{x-1}{2-x}=2+\frac{1}{x}$$ y por lo tanto $$x^2-x=2x(2-x)+(2-x)$$ $$x^2-x=-2x^2+4x+2-x$$ $$3x^2-4x-2=0$$ Las raíces de esta ecuación son $$x=\frac{4\pm\sqrt{40}}{6}=\frac{4\pm 2\sqrt{10}}{6}$$ pero sabemos que no puede ser $x=\frac{4-2\sqrt{10}}{6}$ ya que ese número es negativo, por lo que podemos concluir que $x=\frac{4+2\sqrt{10}}{6}$ . Tenga en cuenta que este número es no racional.

Answer 2

No es racional si su simple expansión de fracción continuada se repite en lugar de terminar.

Si te refieres a esto: $$ 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+ \cdots}}}}} $$ con $1,1,2$ repitiendo para siempre, entonces míralo así: $$ x = 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\left( 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+ \cdots}}\right)}}} = 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{x}}}. $$

A continuación, tiene $$ x = 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{x}}}. $$ Simplifica la fracción y tendrás una ecuación cuadrática que puedes resolver $x$ .

Answer 3

Como esta fracción continua es infinita, no puede ser un número racional (seguramente es un número irracional), http://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction