Demostrando que $A_n$ es el subgrupo normal no trivial sólo correcto $S_n$, $n\geq 5$

Question

Hay un famoso Teorema diciendo que:

Para $n≥5$, $A_n$ es la única adecuada trivial normal subgrupo de $S_n$.

Para la prueba, tenemos en primer lugar, comenzar con la hipótesis de un subgrupo de $S_n$$1≠N⊲S_n$. Vamos a proceder hasta que en la última parte de la prueba del cuerpo, asumimos $N∩A_n=\{1\}$. Esta suposición debe cumplir una contradicción con la normalidad de $N$$S_n$. Allí, llegamos $N=\{1,\pi $} en la que $\pi$ es una permutación impar de orden $2$. Ahora, para satisfacer el deseo de inconsistencia, tengo dos enfoques:

(a) Ya que cada subgrupo normal, tener dos elementos, se encuentra en el centro de la $G$, por tanto, nuestra $N⊆ Z(S_n)=\{1\}$ $n≥5$ y, a continuación,$N=\{1\}$.

(b) Claramente, $1≠N$ actuando en conjunto $\Omega=\{1,2,...,n\}$ es intransitivo en $|\Omega|≥5$ y de acuerdo a la siguiente Proposición $S_n$ sería imprimitive.

La proposición 7.1: Si el transitiva grupo $G$ contiene un intransitivo normal subgrupo diferente de$1$, $G$ es imprimitive Finito (Permutación de Grupos por H. Wielandt).

¿Puedo preguntarle si el segundo enfoque es válido? Yo soy aficionado del saber nuevo enfoque si existe. Gracias.

Answer 1

Usted está casi allí. Tratar de probar que $Z(S_n)= 1$ % todos $n \geq 3$. Entonces si $N$ es no trivial y normal, asumir $N \cap A_n = 1$. Esto implica $N \subseteq Z(S_n)$. ¿Por qué? Porque en general, if $N \unlhd G$ y $N \cap [G,G] = 1$ y $N \subseteq Z(G)$.
Concluimos que el subgrupo normal $N \cap A_n \neq 1$. En este punto asumo que sabes que $A_n$ es un simple grupo $n \geq 5$. Por lo tanto, $N \cap A_n = A_n$, que $A_n \subseteq N \subseteq S_n$. Desde $index[S_n:A_n] = 2$, se deduce que el $N=A_n$ o $N=S_n$.