De cuántas maneras se puede formar un número de 9 cifras utilizando los dígitos 1 a 0 9 sin repetición de manera que sea divisible por $11$ .

Question

De cuántas maneras se puede formar un número de 9 cifras utilizando los dígitos 1 a 0 9 sin repetición de manera que sea divisible por $11$ .

Mi intento ¿Un número es divisible por 11 si la suma alternada de sus dígitos es divisible por 11?

La otra cosa que hay que notar es que como es un número de 9 dígitos formado por dígitos del 1 al 9, exactamente una vez cada dígito del 1 al 9 aparecerá en el número.

Básicamente, la pregunta se reduce a cuántas formas podemos disponer 123456789 para que la suma alternada de los dígitos sea divisible por 11.

No puedo seguir adelante. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Denotemos dicho número por $\overline{a_9 a_8\cdots a_1}$ se obtiene $$\sum_{i=1}^9 a_i = \sum_{i=1}^9 i = 45.$$ Además, podemos utilizar la suma alternada para comprobar la divisibilidad por $11$ . Esto puede expresarse como $$(a_1+a_3+a_5+a_7+a_9) - (a_2+a_4+a_6+a_8) \equiv 0 \pmod{11}.$$ Como ya conocemos la suma total de los dígitos podemos simplificarla un poco a $$(45 -(a_2+a_4+a_6+a_8)) - (a_2+a_4+a_6+a_8) \equiv 0 \pmod{11},$$ que de nuevo se simplifica a $$ a_2+a_4+a_6+a_8 \equiv 6 \pmod{11}.$$ Ahora queremos encontrar la cantidad de soluciones distintas que tiene esta ecuación, donde elegimos $a_2,a_4,a_6,a_8$ distintos y decrecientes de $\{1,\dots 9\}$ . No conozco un truco más inteligente que la simple comprobación, que no es tan difícil en este caso.

• Claramente $a_2+a_4+a_6+a_8 = 6$ no tiene soluciones.

• La ecuación $a_2+a_4+a_6+a_8 = 17$ tiene nueve soluciones y ésta es la que más trabajo da.

• La ecuación $a_2+a_4+a_6+a_8 = 28$ sólo tiene dos soluciones, a saber $\left\{\{9, 8, 7, 4\}, \{9, 8, 6, 5\}\right\}.$

• La ecuación $a_2+a_4+a_6+a_8 = 6+11k$ para $k\geq 3$ no tiene soluciones ya que el máximo $9+8+7+6=30$ es ya demasiado pequeño.

Obtenemos un total de $11$ opciones de dígitos. Para todas estas opciones podemos disponer $a_2,a_4,a_6,a_8$ en $4!$ formas y $a_1,a_3,a_5,a_7,a_9$ en $5!$ . El número total de soluciones es $$ 11\cdot 4! \cdot 5! = 31680. $$

Answer 2

Dado que la suma de dígitos en bruto de $1..9$ será $45$ , un número impar, claramente no podemos tener dos sumas iguales para los dígitos de posición par y de posición impar. Así que tenemos que tener un conjunto de dígitos que sumen $17$ y los demás a $28$ para que la diferencia sea divisible por $11$ .

Esto puede hacerse de cualquier manera; $28$ como la suma de los cuatro dígitos de posición par o la suma de los cinco dígitos de posición impar.

Hacer 28 con sólo cuatro dígitos es el caso más restrictivo. Las únicas opciones son {9,8,7,4} y {9,8,6,5}. Con cinco dígitos hay más opciones: {9,8,7,3,1}, {9,8,6,4,1}, {9,8,6,3,2}, {9,8,5,4,2}, {9,7,6,5,1}, {9,7,6,4,2}, {9,7,5,4,3}, {8,7,6,5,2}, {8,7,6,4,3}.

Así que tenemos 11 formas de dividir los dígitos adecuadamente, y en cada caso podemos permutar los cinco dígitos de posición impar libremente y, de forma similar, los cuatro dígitos de posición par. Así que el número de posibilidades es: $$11\cdot 5!\cdot 4! = 11\times 120\times 24 = 31680$$

Como comprobación de cordura, este total está razonablemente cerca de $\frac{9!}{11}$ es decir, una undécima parte de las permutaciones totales de los dígitos.

Answer 3

Denota por $a_1a_2...a_9$ tal número. Sea $a=\sum_{i=0}^4 a_{2i+1}$ y $b=\sum_{i=1}^4 a_{2i}$ entonces $b-a$ es un múltiplo de 11. Obsérvese que como $a+b=1+2+...+9=45$ es impar necesariamente $b-a$ es impar. Así que $a-b=11$ o $a-b=33$ .

1. Caso $b-a =11$

Si añadimos la ecuación $a+b=45$ obtenemos $b=28$ y $a=17$ . Ahora es fácil anotar todas las soluciones.

2. Caso $b-a = 33$

Entonces, añadiendo $a+b=45$ obtenemos $b=39$ y $a=6$ . Esto no es posible ya que $1+2+..+4$ ya es demasiado grande.

Answer 4

$$1+2+...+9=\frac{9\cdot10}{2}=45\\(x_1+x_3+x_5+x_7+x_9)-(x_2+x_4+x_6+x_8)=11m$$ $m$ debe ser $1$ o $3$ ya que 45 es impar y $3$ se descarta inmediatamente por lo que tenemos $$\begin{cases}X+Y=45\\X-Y=11\end{cases}$$ Por lo tanto, $X=28$ y $Y=17$ Trabajamos con $28$ .

1) Con $9$ y $8$ uno tiene $x_1+x_2=11$ y $x_1+x_2+x_3=11$ ( porque $28-(9+8)=11$ ).

$x_1+x_2=7+4=6+5$ dar $2$ casos.

$x_1+x_2+x_3=7+3+1=6+4+1=6+3+2=5+4+2$ dar $4$ casos.

2) Con $9$ y $7$ sin $8$ uno tiene $x_1+x_2=12$ y $x_1+x_2+x_3=12$ .

$x_1+x_2=12$ ningún caso desde $6+5=11\lt12$ .

$x_1+x_2+x_3=6+5+1=6+4+2=5+4+3$ dar $3$ casos.

Con $9$ y $6$ sin $7$ y $8$ no es posible porque $9+6=15$ y $5+4=9\lt 13$ .

3) Con $8$ y $7$ sin $9$ uno tiene $x_1+x_2$ no es posible y

$x_1+x_2+x_3=6+5+2=6+4+3$ dar $2$ casos.

Por lo tanto, hay $2+4+3+2=11$ casos posibles, cada uno de los cuales corresponde a permutaciones de $5$ y $4$ dígitos.

Por lo tanto, hay $11\cdot4!\cdot5!=\color{red}{31680}$ posibilidades.