Potencias de matrices aleatorias

Question

Deje $M$ $n \times n$ matriz cuyos elementos son aleatorios reales en [0,1]. Dos preguntas.

1. ¿Cuál es la tasa de crecimiento de la magnitud de los elementos de $M^k$ como una función de la $k$? Es definitivamente exponencial, pero tal vez el exponente es conocido?
2. Es el caso de que, finalmente, uno de los elementos de $M^k$ domina, como $k \rightarrow \infty$? Tengo algunas ambigua evidencia experimental de que este es el caso, sino porque el crecimiento exponencial, el cálculo exacto es difícil, representación de mi "evidencia" tenue en el mejor y tal vez inútil.

Uno puede hacer la misma pregunta para matrices cuyos elementos son aleatorios reales en [-1,1], o aleatorio de 0's y 1's, o elecciones al azar entre los $\lbrace -1, 0, 1\rbrace$, ... Estas preguntas han sido estudiados. Gracias por punteros y/o de las ideas!

Answer 1

Los mejores resultados se han obtenido para las matrices aleatorias con distribución normal de las entradas, pero algunos de ellos-como Wigner Circular de la Ley- extender uniformemente distribuida entradas. (La independencia es crucial.) Wigner la ley sólo se aplica a simétrica matrices aleatorias. Girko Circular de la Ley sostiene sin la condición de simetría, pero afaik requiere Normalmente distribuida entradas. Se dice que para largish $n$ los valores propios son aproximadamente distribuidos de manera uniforme en un disco. Para los más pequeños de $n$, antes de que estos asymptotics se alcanza, hay una preferencia por real autovalores se extiende más allá de la disco. En cualquier caso, estos asymptotics dará a usted la distribución de autovalores positivos integral poderes de tales matrices, especialmente cuando se considera que la probabilidad de todos los valores propios son distintos (y por lo tanto la matriz es diagonalizable sobre $\mathbb{C}$) es uno. Por ejemplo, el mayor autovalor de a $M^k$ será aproximadamente de $n^{k/2} \left( 1 - \frac{1}{2} (3 \pi / (2 n) ) ^ {2/3} \right) ^ k$.

Answer 2

No tengo la reputación suficiente para dejar un comentario, así que aquí va....

Como otros han observado, la tasa de crecimiento de $M^k$ es determinado por el mayor autovalor de a $M$. Sólo quiero señalar que para una matriz no negativa, el mayor autovalor es siempre entre el más grande y el más pequeño de la suma de la columna.

Que, en principio, podría permitir que usted para obtener los límites superior e inferior tratando de obligado cuán grande o pequeña sea la columna de sumas que se suele obtener de la matriz aleatoria que describe.

Answer 3

Potencias de una matriz son más fácilmente calculada por primera diagonalizing. Deje $P, D$ ser matrizes, $D$ ser una matriz diagonal con $M = PDP^{-1}$, luego $$M^k = PD^{k}P^{-1}.$$ The entries in D are the eigenvalues of $M$, so the entries in $M^k$ are growing exponentially with the rate of the logarithm of the largest eigenvalue of $M$, cada entrada ser una combinación lineal de estos autovalores.

Así que para el punto 2: la entrada No debe dominar a los demás de manera significativa.

Esta es sólo una respuesta parcial.. tal vez puedas encontrar algo acerca de la distribución de autovalores de azar matrizes. =)

Answer 4

El siguiente análisis que solo trata el caso particular de las matrices simétricas $M$, que puede ser diagonalized por una transformación ortogonal. La observación clave es que el diagonalizing matriz $P$ y el autovalor de la matriz $D$ son estadísticamente independientes. El diagonalizing matriz los elementos se $O(n)$ Haar distribuido. Ahora, es fácil ver que cada elemento de la matriz es un escalar producto de dos $O(n)$ Haar distribuido n-vectores ponderados por la k-ésima potencia de los autovalores.

En valores grandes de k, el máximo autovalor domina todos los autovalores y la contribución de la diagonalizing matriz es fijo. Así, la tasa de crecimiento de todos los elementos de la matriz es el logaritmo natural del máximo autovalor.

Por otra parte, la contribución del máximo autovalor de la $(i,j)$ elemento está dado por $P_{im} D_{mm}^k P_{jm}$ ($D_{mm}$ es el máximo autovalor). Por lo tanto el elemento de la matriz para que el producto $P_{im} P_{jm}$ es máxima domina todos los elementos de la matriz de la energía de la matriz. Este elemento será más probable en la diagonal porque es multiplicada por el cuadrado de un Haar distribuido elemento que tiene una media distinta de cero. Los elementos de la diagonal son multiplicado por el producto de dos diferentes Haar distribuido elementos teniendo así un cero significa.