Prueba de Egoroff del Teorema de

Question

Deje $\{f_n \}$ ser una secuencia de funciones medibles, $f_n \to f$ $\mu$-una.e. en un conjunto medible $E$, $\mu(E) < \infty$. Deje $\epsilon>0$ ser dado. A continuación, $\forall \space n \in \mathbb{N} \space \exists A_n \subset E$ $\mu(A_n) <\frac{\epsilon}{2^n}$ $\exists N_n$ tal que $\forall \space x \notin A_n$$k \ge N_n \space |f_k(x) - f(x)| < \epsilon$. Que es: si definimos $A = \cup_{n=1}^{\infty} A_n$ $\mu(A) < \epsilon $ ${f_n}$ converge uniformemente en $E \setminus A$.

$\mathbf{Proof}$: (tomado de Royden del Análisis Real)

Deje $A = \cup_{n=1}^{\infty} A_n \Rightarrow A \subset E$$\mu(A) < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\epsilon}{2^n} = \epsilon. \mathbf{Q1}$.

elija $n_0$ tal que $\frac{1}{n_0} < \epsilon$. Si $x \notin A$ $k \ge N_{n_0}$ hemos $\space |f_k(x) - f(x)| < \frac{1}{n_0} < \epsilon \space$. $ \square$

$\mathbf{Q1}$: En primer lugar, no veo la manera de $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\epsilon}{2^n} = \epsilon$. Es una serie geométrica: $ \epsilon \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \epsilon \frac{1}{1-\frac12} = 2 \epsilon$. Estoy equivocado?

$\mathbf{Q2}$: La idea detrás de Egoroff es con el fin de convertir casi seguro de convergencia en la convergencia uniforme en $E$ sólo necesitamos tomar distancia de un muy pequeño grupo, ¿verdad? Curiosamente, como $\epsilon \to 0$ (que es $f_n$ está acercando a $f$), la medida del conjunto de $A$ es llegar proporcionalmente menor ($\mu(A) \to 0$). Así somos en última instancia, tomando un conjunto de medida cero?

Answer 1

A2: estás en lo correcto, que por arbitrariamente pequeño $\epsilon$ hay un conjunto $A$, de tal manera que $\mu(A)<\epsilon$, donde la convergencia uniforme falla. De manera que la medida de $A$ puede ser arbitrariamente pequeño. Sin embargo, también hay que tener en cuenta que la convergencia uniforme requiere de un número finito de $N$ tal que dado $\delta>0$, para todos los $k>N$, $|f_k - f|<\delta$. Imagino que como $\epsilon$ se hace más pequeño y más pequeño, para una fija $\delta$ $N$ puede obtener más y más grande. A continuación, en el límite como $\epsilon\to 0$, $N \to\infty$ y convergencia uniforme sería un fracaso.

Mi texto favorito para Egoroff del teorema y temas relacionados se Lieb y la Pérdida de Análisis del libro.

Answer 2

A1: comenzamos la suma de $1$, por lo que el resultado es $\varepsilon$ (incluso si teníamos $2\varepsilon$ no importa).

A2: el problema viene de la dependencia de la set$A$$\varepsilon$. Las cosas son más concretas, cuando pensamos en la $X=[0,1]$$f_n(x)=x^n$.