Yo estaba recordando con un amigo y nos recuerda una pregunta para nosotros en nuestra escuela secundaria clase de cálculo.
Encontrar una expresión para la $n^{\text{th}}$ derivado y el $n^{\text{th}}$ integral de $\ln x$ (ignorando la integración de las constantes de$^1$).
La primera parte es fácil:
$$f(x) = \ln x$$ $$f'(x) = \frac{1}{x}$$ $$f''(x) = -\frac{1}{x^2}$$ $$f'''(x) = \frac{2}{x^3}$$ $$\vdots$$ $$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}\cdot(n-1)!}{x^n}$$
La segunda parte parece haber ningún patrón:
$$f(x) = \ln x$$ $$\int f(x)\ dx = x\ln x - x$$ $$\iint f(x) \ dx^2 = \frac12x^2\ln x - \frac34x^2$$ $$\iiint f(x) \ dx^3 = \frac16x^3\ln x - \frac{11}{36}x^3$$ $$\vdots$$
Parece que la respuesta es algo como:
$$f^{(-n)}(x) = \frac{1}{n!}x^n\ln x - \ ?x^n$$
Por lo que parece, creo que la pregunta se reduce a encontrar un término general para:
$$\int x^n \ln x \ dx$$
Y, a continuación, también tratando de averiguar cuál es el patrón de los coeficientes de $?$.
$^1$Como usuario Semiclásica señala, esto es sólo equivalente a la informática sucesivas antiderivatives de:
$$\int_0^x f(t) \ dt$$
