Espacios topológicos en la que cada apropiado cerrado subconjunto compacto

Question

Deje $X$ ser un espacio topológico. Es un resultado básico de que si $X$ es compacto, entonces todo correcto cerrado subconjunto $Y \subset X$ es compacto. Por curiosidad, me gustaría explorar el recíproco de esta declaración:

Deje $X$ ser un espacio topológico con la propiedad de que cada apropiado cerrado subconjunto es compacto. Es el caso de que $X$ es compacto?

Por supuesto, esta pregunta sólo es interesante cuando se $X$ es infinito. Nos limitamos a los espacios que tienen infinidad de bloques abiertos, ya que cada conjunto cerrado, y, de hecho, el espacio en sí mismo, será compacto si sólo hay un número finito de abiertos conjuntos. Si este resultado es falso en general, podemos añadir más hipótesis para hacerlo?

Caso de que este no espera, estoy interesado en la búsqueda de ejemplos concretos cuando este no espera. Por ejemplo, podemos tomar un conjunto infinito dotado de la cofinite la topología, que funciona ya que cada conjunto cerrado es finito y por lo tanto compacto, y el espacio en sí mismo podría ser compacto. Otro ejemplo es el intervalo cerrado $[a, b] \subset \mathbb{R}$, en donde cerrado los subconjuntos cerrados y acotados en $\mathbb{R}$, y así todos los subconjuntos cerrados son compactos debido a Heine-Borel.

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Actualización: Gracias a Zardo del trabajo, sabemos que un espacio topológico es realmente compacto. En lo que respecta a su respuesta, haga clic aquí para leer acerca de cómo la intersección finita de propiedad se refiere a la compacidad.

Answer 1

Suponga que $X$ no es compacto. A continuación, hay una familia $\{A_i\}_i$ cerrado de subconjuntos finitos de la intersección de la propiedad de tal manera que $\bigcap_i A_i = \emptyset$. Por lo tanto, existe una $j$$A_j \neq X$. A continuación, $A_j$ es un buen subconjunto cerrado de $X$ pero no es compacto, ya que la familia $\{A_i \cap A_j \}_i$ tiene la intersección finita de la propiedad y $\bigcap (A_j \cap A_i) = \emptyset$.

Answer 2

Creo que los más interesantes ejemplos de esto son infinitos espacios topológicos $X$ de manera tal que cada apropiado cerrado subconjunto finito. Un espacio tan trivialmente tiene la propiedad que usted menciona, pero es compacto por menos razones triviales.

Un buen ejemplo es $X=\mathbb{N}$, con el vacío abierto conjuntos de $U_n = \{k \mid k\geq n\}$.

Tenga en cuenta que este espacio es una inversa de límite finito de espacios topológicos. En general, una función inversa de límite finito de espacios topológicos es compacto.

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Aquí es otro buen ejemplo! Deje $R$ ser un anillo conmutativo con unidad, y $I\subset R$ un ideal. Por simplicidad, suponga que $R$ es reducido. Considerar el espacio topológico $X = \operatorname{Spec} R \setminus V(I)$ de primer ideales de $R$ que no contengan $I$.

Supongamos que cada apropiado subespacio cerrado de $X$ es compacto. Esto es equivalente a la condición de que $V(J)\setminus V(I)$ es compacto para cada ideal $J$$IJ\neq 0$.

Desentrañar esta, nuestra condición es que $\overline{I}$ es finitely generado en $R/J$ para todos los ideales de a$J$$IJ\neq 0$. Y la conclusión es que el $I$ es en sí mismo finitely generado.

En efecto, podemos tomar cualquier valor distinto de cero $x\in I$. A continuación,$I\cdot(x)\neq 0$, y si $\overline{I}$ es finitely generado en $R/(x)$, se puede levantar de generadores de a $R$, y tirar en $x$ para obtener un conjunto de generadores para $I$.