Demostrando $A^2 = 0$ $A^5 = 0$

Question

Tengo una clase de la pregunta donde tengo que probar a $A^2 = 0$ $A^5 = 0$ (siendo a una matriz de 2x2. Pensé que yo podría simplemente decir que como $A^5 = 0$ $A^2 \cdot A^3 = 0 \implies A^2 = 0$ $A^2 = A\cdot A$ y $A^3 = A\cdot A\cdot A$ $\implies A = 0 \implies A^2 = 0$.

Puede alguien comprobar que mi prueba es válida y no sólo un argumento circular (que creo que se puede) Gracias

Answer 1

Esto no es válido porque para matrices $AB = 0$ no implica que se $A=0\vee B=0$. En lugar de utilizar la dimensión de $A$ (que Es crucial que $A\in\mathbb R^{2\times 2}$ aquí).

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Sugerencia
Si $A^k = 0$ algunos $k\ge n$ $0$ debe ser necesariamente el único autovalor de a $A\in\mathbb R^{n\times n}$, ya que para cualquier eigenpair $(\lambda, x)$ $$0 = A^k x = \lambda^k x = 0 \Leftrightarrow \lambda^k = 0 \Leftrightarrow \lambda = 0$$ Ahora si $0$ es el único autovalor de a$A\in\mathbb R^{2\times 2}$, entonces...

Answer 2

Puede utilizar la ecuación característica $$ A^2-Tr(A)A+I_2\det{A}=O_2,$$ where $Tr(A)$ is the sum of the elements on the first diagonal while $\det{A}$ is the determinant of $$ and it is zero because $^5=0$. Hence $^2-Tr(a)=O_2$. If $Tr(A)=0$ you are done. If not multiply the previous equation by$^3$ and you will get $^4=O_2$ and so on till $^2=O_2$.

Answer 3

Su razonamiento es incorrecto, porque $AB=0$ no implica que $A=0$ o $B=0$. Tomemos, por ejemplo, $$\left(\begin{matrix}1&0\\0&0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0&0\\0&1\end{matrix}\right)$$

Pero si $A^5=0$, entonces el rango de a $A$ no es dos, por lo que debe ser $1$ o $0$.
Si es $0$, claramente $A=0$ y, por tanto,$A^2=0$.
Si es $1$, entonces la imagen de a $E$ de la función lineal $f(x)=Ax$, $x\in\Bbb R^2$ tiene dimensión $1$. Ahora hay dos posibilidades: $f(E)$ tiene dimensión $0$ o $f(E)$ tiene dimensión $1$. Si $f(E)$ tiene dimensión $0$$A^2=0$, como se nos quiere mostrar, y si $f(E)=E$ $f$ es claramente un bijection $E$, e $A^n$ rango $1$ todos los $n$, una contradicción con el hecho de $A^5=0$.

Answer 4

Su argumento se rompe en el que dicen que $(A^2)(A^3) =0$ implica que cualquiera de las $A^2 = 0$ o $A^3 = 0$. En general, no hay ningún cero de la regla del producto en álgebra lineal; es fácil para $AB$ a la igualdad de $0$ incluso si $A$ $B$ son ambos cero. En espacios más grandes, su teorema sería falso. Por ejemplo, suponga que hacer una $5\times 5$ matriz de ceros excepto en la diagonal, justo por encima de la diagonal principal; por ejemplo, supongamos $A_{12}=A_{23}=A_{34}=A_{45}=1$ y todo lo demás ceros. A continuación, $A^5 =0$ pero $A^2$ no es cero.

Lo que se dice, se trabaja sólo en el conjunto de la $2\times 2$ matrices. Es un caso especial, y la declaración es, sin duda cierto para ese caso. Yo no sé hasta qué punto a lo largo de su libro de texto que son...un enfoque podría ser observar que el polinomio mínimo de a $2\times 2$ matriz no puede ser mayor que el grado $2$; desde el polinomio mínimo debe ser un factor de $x^5$, sólo puede ser $x^1$ o $x^2$.

Si usted no ha cubierto característica polinomios y un mínimo de polinomios sin embargo, se podría decir que, cualquiera que sea la matriz, existe una base en la que la matriz es triangular superior. En base a eso, las entradas de la diagonal de a $A^5$ son sólo los diferentes valores de $a^5$ donde $a$ es una de las entradas de la diagonal. Desde $A^5$$0$, la diagonal entradas en esta base debe ser $0$. Esto deja sólo una posible entrada distinto de cero, en la esquina noreste. Por lo $A^2$ debe ser igual a $0$ . Hay algunas generalizaciones para espacios más grandes-por ejemplo, si $A$ $m \times m$ $A^n = 0$ donde $n$ es mayor que $m$. Algo como eso.