¿El conjunto vacío es linealmente independiente o dependiente?
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5xum
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Por definición, es linealmente independiente, porque no es depende linealmente .
Un conjunto $S$ es linealmente dependiente si existe un conjunto finito de vectores $v_1,\dots, v_n$ y los correspondientes escalares $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ tal que existe al menos un $\alpha_i\neq0$ para que $$\sum_{i=1}^n \alpha_i v_i=0$$
Observación: (de forma equivalente, podríamos exigir que todo $\alpha_i$ son distintos de cero, pero entonces también tendríamos que exigir que exista al menos un $\alpha_i$ que es distinto de cero. Esto se debe a que el conjunto vacío satisface la demanda de que cada elemento de él sea distinto de cero...)
Es evidente que no hay colecciones finitas de vectores de $\{\}$ que satisface la condición anterior, porque no hay ninguna colección en absoluto .
Además, el conjunto vacío es también un base del subespacio vectorial $\{0\}$ porque $\{0\}$ es el
El espacio vectorial más pequeño que incluye $\{\}$ y es un espacio vectorial.
En cierto modo, también podría redondear su razonamiento de que $\{\}$ es linealmente independiente así:
- Usted sabe que $\{0\}$ es un espacio vectorial.
- Sabes que todo espacio vectorial tiene una base.
- Usted sabe que la base de $\{0\}$ es un subconjunto de $\{0\}$ por lo que la base de $\{0\}$ puede ser $\{\}$ o $\{0\}$
- Usted sabe que $\{0\}$ no es una base porque no es linealmente independiente (porque $1\cdot 0=0$ )
- Por lo tanto, $\{\}$ es una base.
- Como todas las bases son linealmente independientes, también lo es $\{\}$
Nota, esto no es realmente una "buena" prueba porque hace una especie de falacia de plantear la pregunta. Esto no pretendía ser una prueba en un sentido matemático, sólo una prueba "para ti mismo" de que ya sabe el conjunto vacío es linealmente independiente, porque esa es la única forma en que todo espacio vectorial puede tener una base, y tú conozca que eso es cierto (y, de hecho, tú o alguien más debe haber utilizado el hecho de que el conjunto vacío es linealmente independiente al demostrar ese hecho)
Adam Malter
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Dado que la definición correcta de "linealmente dependiente" no se ha detallado en ninguna de las respuestas hasta ahora, permítanme añadir una nueva respuesta. Un subconjunto $S$ de un espacio vectorial $V$ se define como linealmente dependiente si existen muchos elementos finitos distintos $s_1,s_2,\dots,s_n\in S$ y escalares $c_1,c_2,\dots,c_n$ que no son todos $0$ tal que $$\sum_{i=1}^n c_is_i=0.$$
(Si $S$ es finito, se puede establecer esta condición con $s_1,\dots,s_n$ siendo todos los elementos de $S$ ya que dada cualquier relación de esta forma se puede hacer que los coeficientes sean $0$ para todos los elementos de $S$ que no has utilizado).
Cuando $S=\emptyset$ la única colección posible de elementos distintos finitos de $S$ es la colección vacía, con $n=0$ . Pero no existe ninguna colección de $0$ escalares, de los cuales no todos son $0$ . Después de todo, si tienes una colección de no escalares, entonces vacuamente todos los escalares de tu colección son $0$ .
Así, $\emptyset$ es linealmente independiente (como subconjunto de cualquier espacio vectorial).
Rodney
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39
Es linealmente independiente.
Si un conjunto es linealmente dependiente, entonces habría una combinación lineal no trivial de los vectores de la familia que sumara el vector cero. También es imposible elegir un vector en el conjunto vacío y escribirlo como una combinación lineal de los otros vectores en el conjunto vacío, ya que la familia vacía es vacía.
Cat
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323
