Como todos sabemos, todas las propiedades básicas de las funciones holomorfas (es decir, las funciones diferenciables en sentido complejo) pueden deducirse de la fórmula de Cauchy. Además, la propia fórmula de Cauchy puede considerarse una consecuencia bastante sencilla de la fórmula de Green-Riemann, proporcionó que la función holomorfa que tienes a mano se supone que tiene una derivada continua.
Por supuesto, la fórmula de Cauchy se mantiene sin suponer la continuidad de la derivada, y da continuidad a la derivada y mucho más, ya que implica la expansión de la serie de potencias. Pero la fórmula de Cauchy (o, si se prefiere, el teorema de Cauchy) sin asumir la continuidad de la derivada es algo bastante sutil, y esto da una prueba bastante "indirecta" del hecho de que las funciones holomorfas son de hecho $\mathcal C^1$ .
Así que mi pregunta es la siguiente: ¿alguien conoce una prueba directa del hecho de que si una función $f$ definido en un subconjunto abierto de $\mathbb C$ es diferenciable en el sentido complejo, entonces su derivada $f'$ es continua?
Estoy bastante seguro de que no soy el primero ni seré el último que se hace esta pregunta, al menos para sí mismo (o para ella misma). Así que, por favor, siéntase libre de cerrarla si efectivamente se ha preguntado previamente en este sitio.
Editar. Tal vez deba decir unas palabras más sobre lo que entiendo por una "demostración directa". Cualquier cosa que se base de una manera u otra en la fórmula de Cauchy o en el teorema de Cauchy es no considerado como un argumento directo. Una prueba directa debería establecer de alguna manera "desde cero", o "desde principios muy básicos" que la holomorfía implica $\mathcal C^1$ .
