Pruebalo $\zeta(4)=\pi^4/90$

Question

Me pide que "utilizar el cálculo de residuos" para demostrar que $$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}$ $

Creo que puedo hacerlo dada la serie de Laurent para $\cot z$ centrado en el origen, pero no sé cómo encontrar los pocos primeros términos de la serie de Laurent (puedo usar fórmula Integral de Cauchy para encontrar el coeficiente de la primera).

Answer 1

El cálculo de la solución de residuos viene de $\frac{\pi\cot{\pi z}}{z^4}$ en sentido antihorario alrededor de la curva correspondiente de integración. La solución es elaborada aquí.

Answer 2

Tenemos una serie de Taylor el de $ $$\dfrac{\sin(x)}x = \prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\dfrac{x^2}{n^2 \pi^2}\right)$ $$\dfrac{\sin(x)}x = 1-\dfrac{x^2}{3!} + \dfrac{x^4}{5!} \mp$ $ comparando el coeficiente de $x^4$, obtenemos $$\sum_{\overset{m,n=1}{m< n}}^{\infty} \dfrac1{m^2n^2\pi^4} = \dfrac1{120}$ $ $$\sum_{\overset{m,n=1}{m< n}}^{\infty}\dfrac1{m^2n^2} = \dfrac{\left(\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} \dfrac1{m^2} \right)^2 - \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} \dfrac1{m^4}}2$ $ que hace uso del hecho de que %#% $ de #% obtenemos por lo tanto, $ de $$\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} \dfrac1{m^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$ $$\dfrac{\pi^4}{120} = \dfrac{\dfrac{\pi^4}{36}-\zeta(4)}2$ $