¿Por qué es $\partial\partial M=\varnothing$?

Question

Por qué es la frontera de la frontera de un % diferenciable orientada $n$-dimensional múltiple $M$ vacía, es decir $$\partial\partial M = \emptyset?

Answer 1

Deje M sea un múltiple y $\omega>0$ ser una función. Por dos veces el uso de Teorema de Stokes:

$$\int_M d^2 \omega=\int_M d(d(\omega))=\int_{\partial M}d\omega=\int_{\partial{\partial M}} \omega$$

Desde $d^2 \omega=0$ siempre (propiedad del derivado exterior) entonces $\int_{\partial{\partial M}} \omega=0$ y $\omega>0$ y $\partial\partial M=0$.

Answer 2

Esto simplemente dice que el límite del colector $M$ es un colector sin límite. De hecho, por definición, es localmente homeomórficos a $\mathbb{R}^{n-1}$ por la restricción de los atlas de $M$$\partial M$. Nota: esto no tiene nada que ver con el diferencial de la estructura.

Nota: creo que vale la pena señalar que el límite de $\partial^\mathrm{man}$ de un colector es una noción diferente de la de la frontera en general de un espacio topológico $\partial^\mathrm{top}$. Por ejemplo, $\partial^\mathrm{man}(0,1)=\emptyset$ mientras $\partial^\mathrm{top}(0,1)=\{0,1\}$. Para evitar la confusión, algunas personas llaman a $\partial^\mathrm{top}$ el fronteer.

No es cierto que $\partial^\mathrm{top}\partial^\mathrm{top} S=\emptyset$ en general. Precisamente, en el caso de un sistema cerrado la mitad de espacio, $\partial^\mathrm{top}\partial^\mathrm{top} S=\partial ^\mathrm{top}S\neq \emptyset$. Por ejemplo, $$\partial^\mathrm{top} \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;;\;y\geq 0\}=\partial^\mathrm{hombre} \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;;\;y\geq 0\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;;\;y=0\}=B$$ y $$\partial^\mathrm{top}B=B\qquad\text{mientras}\qquad \partial^\mathrm{hombre}B=\emptyset$$ como $B$ es homeomórficos a $\mathbb{R}$.