¿Una clase GACION siempre contiene un elemento y su inversa?

Question

La definición de un elemento conjugado

Decimos que $x$ es conjugado a $y$ $G$ si $y = g^{-1}xg$ algunos $g \in G$

Ahora, para el grupo de $G=Q_8$ , tenemos la presentación del grupo $$Q_8 = \big<a,b: a^4 =1,b^2 = a^2, b^{-1}ab = a^{-1} \big>$$

Ahora los elementos de $Q_8$ $\{1,a,a^2,a^3,ab,a^2b,a^3b,b\}$ y después de algunos cálculos tendríamos $5$ diferentes clases conjugacy, es decir, $a^G = \{a,a^3\}$ donde $a^G$ denota la clase conjugacy de $a$$G = Q_8$,

también tenemos

$1^G = \{1 \}$, ${a^2}^G = \{ a^2 \}$, ${(a^2b)}^G = \{a^2b,b \}$ y ${(ab)}^G = \{ab,a^3b\}$

Por supuesto , no es ninguna sorpresa que por cada elemento $x \in G$ tenemos $x \in x^G$ porque $x = 1^{-1}x1$. Sin embargo, vemos que todas las clases conjugacy para $Q_8$ contienen el elemento y es inversa. Como $a^{-1} = a^3$, ${(a^2)}^{-1} = a^2$, ${(a^2b)}^{-1} = b$ y así sucesivamente.

Mi pregunta es ¿esto cierto para todos los grupos ?

Más formalmente , Es cierto que para un elemento $x \in G$$x,x^{-1} \in x^G$ ?

Answer 1

No, esto no tiene: tomar cualquier grupo abeliano $G$, entonces el $ab=ba$ % todo $a,b\in G$, que $b^{-1}ab = a$ % todo $a,b\in G$, que $a^G=\{a\}$ % todos $a\in G$. Así pues si $G$ contiene un elemento de orden diferente de $2$, no satisfacer que $a,a^{-1}\in a^G$ % todos $a$.

Para un ejemplo concreto, tomar $G = \langle a: a^4=1\rangle$, entonces el $a^{-1}=a^3\not\in a^G=\{a\}$.

Answer 2

En un grupo finito $G$ $2n+1$ de orden impar, sólo la identidad es conjugado a su inversa. Pues si es fácil ver que $gxg^{-1} = x^{-1}$, que $g^{2}xg^{-2} =x$ conmuta con $g^{2}$ $x$, entonces. Pero $g = (g^{2})^{n+1}$ es una potencia de $g^{2}$, por lo que $g$ conmuta con $x$. Por lo tanto, $x = x^{-1}$, que $x^{2} = 1_{G}$. Pero entonces $x = (x^{2})^{n+1} = 1_{G}$.

Answer 3

Jajaja Pensar en un Grupo abeliano. Todas las clases de GACION contienen un solo elemento. Sólo elementos de orden ($1$ o) $2$ son sus propias inversas.

Answer 4

Hay una conexión con la teoría del carácter de grupos finitos: un grupo se dice que es ambivalente si cada elemento es conjugado a su inversa. Para un grupo finito, esto es equivalente a todos los personajes del grupo sobre los números complejos, siendo el valor real. Fácilmente se ve que todos simétrico grupos $S_n$ son ambivalentes. Sin embargo, la alternancia grupos $A_n$ son ambivalentes para $n \in \{1,2,5,6,10,14\}$.