Ejemplos de las variedades que no son límites

Question

¿Cuáles son algunos ejemplos de las variedades que no tienen límites y no son límites de múltiples dimensionales más altos?

¿Es cualquier $n$-dimensional múltiple cerrado un límite $(n+1)$-múltiple dimensional?

Answer 1

Dos cerrados colectores $n$-dimensiones de los colectores se dice que los cobordant si no es un compacto $(n+1)$-dimensional $W$ tal que $\partial W = M\sqcup N$. Si $N = \emptyset$, $M$ dijo ser null-cobordant. En esta terminología, su pregunta se convierte en

Está todo cerrado colector null-cobordant?

La respuesta a esta pregunta es no. Pontryagin & Thom demostrado que un colector cerrado es nulo cobordant si y sólo si todos sus Stiefel-Whitney números son cero. En particular, $\mathbb{RP}^2$ no es el límite de un compacto de tres dimensiones múltiples.

Usted puede hacer la misma pregunta para la orientada a los colectores, es decir, todos orientados cerrado $n$-dimensiones del colector de los límites de una orientada a la $(n+1)$-dimensional compacta colector? En ese caso, se puede considerar orientado (null)cobordisms. Se ha demostrado por la Pared que una orientada compacto colector es orientedly null-cobordant si y sólo si todos sus Stiefel-Whitney y de Pontryagin números de desaparecer. En particular, $\mathbb{CP}^2$ no es el límite de algunos orientado compacto de cinco dimensiones múltiples.

Answer 2

El círculo $x^2+y^2=1$ en el pinchado #% plano $(x,y)$ #% es un ciclo pero no un límite.

Answer 3

1) Considerar la latitud o la longitud de un toro $S^1 \times S^1$, ninguno de esos ciclos límites en el toro . No puede haber un sólo ciclo en cualquier colector no triviales de homología (aunque el ciclo no puede ser un (sub) del colector) y ningún ciclo de otra manera: trivial de homología significa que cada ciclo de límites.

2) Ninguna; Real proyectiva llanura no es el límite de cualquier colector, debido a su característica de Euler. La característica de Euler es una obstrucción. Ver obstrucción de la teoría de la

El área general de estudio es Cobordism teoría