Estudiar la convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt[n]{a} - \frac{\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{2})$

Question

¿Cómo examinar la convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt[n]{a} - \frac{\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{2})$ $a, b, c> 0$ aplicando el teorema de Taylor?

Answer 1

Tiene, usando el polinomio de Taylor, $$ un ^ {1/n} = e ^ {\frac1n\,\log un} = 1 + \frac1n\log a + \frac {e ^ {c_n}} {2n ^ 2} \,\log^2 un $$ donde $0<c_n<\frac1n\,\log a$. Así\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt[n]{a} - \frac{\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{2}) &=\sum_{n=1}^\infty\frac1n\,\left(\log a-\frac12\log b-\frac12\,\log c\right)+\frac{1}{2n^2}\left(e^{c_n}\log^2 a-\frac{e^{d_n}}2\log^2b-\frac{e^{f_n}}2\,\log^2c\right)\\ \ \\ &=\sum_{n=1}^\infty\frac1n\,\left(\log \frac a{(bc)^{1/2}}\right)+\frac{1}{2n^2}\left(e^{c_n}\log^2 a-\frac{e^{d_n}}2\log^2b-\frac{e^{f_n}}2\,\log^2c\right).\\ \ \\ \end {Alinee el} la serie de los términos segundo siempre convergerán debido al $n^2$ y el hecho de que los exponentes están delimitadas por fijo de números. Así que la convergencia es decidida por $$\sum_{n=1}^\infty\frac1n\,\left(\log \frac a{(bc)^{1/2}}\right).$ $ si el registro es cualquier número distinto de cero, se obtiene una serie divergente. Así convergencia ocurre si y sólo si $a/(bc)^{1/2}=1$, que es $$ a ^ 2 = bc. $$

Answer 2

Tienes, de expansión de Taylor de $e^u$ $0$ de segundo orden, alrededor de $$ \begin{align} \sqrt[n]{a} - \frac{\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{2} &= e^{\frac{1}{n}\ln a} - \frac{1}{2}\left(e^{\frac{1}{n}\ln c}+e^{\frac{1}{n}\ln b}\right)\\ &= 1+\frac{1}{n}\ln a + \frac{1}{2n^2}\ln ^2 a \\&\qquad- \frac{1}{2}\left(2+\frac{1}{n}\ln b + \frac{1}{2n^2}\ln ^2 b+\frac{1}{n}\ln c + \frac{1}{2n^2}\ln ^2 c\right) + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \\ &= \frac{1}{2n}(2\ln a - (\ln b + \ln c)) + \frac{1}{4n^2}(2\ln ^2 a - ( \ln ^2 b+\ln ^2 c)) + o\left(\frac{1}{n^2}\right). \end{Alinee el} $$

¿Si $(2\ln a - (\ln b + \ln c)) \neq 0$, puede usted concluir (teoremas de comparaciones)? ¿Y si $(2\ln a - (\ln b + \ln c)) = 0$?