Como sin (x) tiene un número infinito de máximos y mínimos, me pregunté si$\sin(x)$ podría interpretarse de la siguiente manera:$$ax^\infty+bx^{\infty-1}\cdots zx $ $ O algo así. ¿Estoy hablando tonterías aquí o hay realmente una interpretación de seno que involucra polinomios?
Respuestas
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Folgert Karsdorp
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Estás cerca, aunque lo que escribiste es una tontería porque no existe el hecho de tener$x^{\infty}$.
La expansión del seno de Taylor es$\sin(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, por lo que el seno en realidad está dado por un polinomio infinito que es igual a él en todas partes. Puedes probar esto usando cálculo.
Brian Hinchey
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Hay muchas maneras de para entenderse $\sin(x)$ por ejemplo el uno como un desarrollo en serie de taylor $$\sin(x)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$$ o como $$\sin(x)= \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$$ Aquellos le da la interpretación geométrica como se va en el plano complejo y viendo la llamada fórmula de euler: $$e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$$ Así, tanto de ellos realmente no punto de que las cosas con el infinito muchas máximos, hay otra definición como $$\sin(x)=x \prod_{k=1}^\infty \left( 1- \frac{x^2}{k^2 \pi^2}\right)$$ lo que da una idea de que el $\sin(x)$ función realmente infinitly muchos ceros, y este puede ser interpretado de muy agradable como un polinomio (escrito como un producto de ceros).
Otra forma de definir el $\sin(x)$ función es a través de una ecuación diferencial ordinaria: llamamos a $\sin(x)$ la solución de $$\begin{cases} y''=-y\\ y'(0)=1\\ y(0)=0 \end{casos}$$ Aquí uno puede "ver" que estas funciones tiene infinitly muchos ceros, cuando empezamos a $0$ sabemos que la función es creciente (como $f'>0$) por lo que la función va a aumentar, pero la segunda derivada es menor que $0$ al $x$ es un poco más grande que el $0$, por lo que la función es creciente más lento hasta el máximo, que es decreciente, se convertirá en menor $0$ y, a continuación, la idea sigue así.
