¿Por qué existe la descomposición de Cholesky?

Question

De wikipedia, dada cualquier matriz $A$, a veces puede descomponer $A = LU$ usando eliminación Gaussiana. Otras veces, una matriz de permutación es necesario, dando a $PA = LU$.

Si $A$ es Hermitian positivo-definida, que puede mostrar que, SI no de la matriz de permutación es necesario, entonces eliminación Gaussiana da $A=LU$ que me puede, eventualmente, masaje y la descomposición de Cholesky $A=LL^*$. Sin embargo, parece que Hermitian positivo-definida matrices son especiales en que no permutaiton matriz es siempre necesaria, y por lo tanto la descomposición de Cholesky, siempre existen. Por qué?

Answer 1

Las entradas diagonales de$U$ en$A=LU$ son cocientes de sucesivos diagonales principales menores de la matriz$A$. Si$A$ es positivo definido, los principales menores son todos positivos. A veces esto se llama el criterio de Hurwitz.

Coloque los elementos diagonales de$U$ en una matriz diagonal$D$, luego$A=LU=LDL^*$. Lo que nuevamente muestra que la descomposición de Cholesky funciona, ya que los números críticos del algoritmo son estas entradas diagonales.