La Relatividad General de Wald, sección 6.3.

Question

No puedo entender cómo se llega a la conclusión en la ecuación 6.3.36 y 6.3.37; incluso la terminología es algo confuso. Este es un problema de la curvatura de la luz en virtud de un campo gravitacional.

Esto es lo que se menciona en la página: tenemos, para la métrica de Schwarzschild, \begin{equation} \frac{d\phi}{dr}=\frac{L}{r^2}\left[E^2-\frac{L^2}{r^3}(r-2M)\right]^{-1/2} \end{equation} Queremos encontrar a $\Delta\phi$ de los rayos de luz en la geometría de Schwarzschild, que atraviesa un camino cerca de la esférica de estrellas.

Con el fin de no ser capturado, el parámetro de impacto $b$ debe ser mayor que el impacto crítico del parámetro $b_c=3^{3/2}M$. En ese caso, la órbita de los rayos de luz tendrá un "punto de inflexión" en la más grande de la radio, $R_0$, por lo que $V(R_0)=E^2/2$, es decir, en el mayor de la raíz de $R_0^3-b^2(R_0-2M)$, que es

\begin{equation} R_0=\frac{2b}{\sqrt{3}}\cos\left[\frac{1}{3}\cos^{-1}\left(\frac{-b_c}{b}\right)\right] \end{equation}

Estoy perdido en este punto:

1. ¿Qué quiere decir con "más grande de la radio" $R_0$?
2. ¿Cómo es que de repente hacer el coseno conclusión?

Yo podía entender el resto de esta sección, pero estas dos observaciones son demasiado oscuro para mí. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Vamos a empezar con el de Schwarzschild geodésica $$ \frac{1}{2}\dot{r}^2 + V(r) = \frac{1}{2}E^2, $$ con $V(r)$ el potencial efectivo $$ V(r) = \frac{L^2}{2r^3}(r-2M). $$ Considere la posibilidad de que los rayos de luz que se desvía en la geometría de Schwarzschild, es decir, los fotones que empezar a gran distancia ($r$ grandes, $\dot{r}<0$), se propagan hasta llegar a una distancia más cercana de enfoque en coordinar $r=R_0$ (donde $\dot{r}=0$), y se propagan hacia el exterior de nuevo. Por lo tanto, $R_0$ es una solución de la ecuación $$ \frac{1}{2}E^2 = V(r) = \frac{L^2}{2r^3}(r-2M), $$ o $$ r^3 -b^2(r-2M) =0, $$ con $b=L/E$. Si $b<b_c = 3^{3/2}M$, entonces esta ecuación no tiene raíces positivas, lo que significa que el fotón se continuará en espiral hacia el centro. Si $b>b_c$, la ecuación tiene dos raíces positivas y uno no físico negativo de la raíz. Sólo estamos interesados en la más grande de las raíces positivas, desde que empezamos en un radio muy grande ($r \gg R_0$) y los fotones nunca va a llegar a cualquier distancia menor que $R_0$.

La solución $$ R_0 = \frac{2b}{\sqrt{3}}\cos\left[\frac{1}{3}\cos^{-1}(-b_c/b)\right] $$ puede ser verificado mediante el uso de $4\cos^3x =\cos 3x + 3\cos x$. También se puede comprobar que es el más grande de la raíz, ya que la $b>b_c$ y $$ \cos^{-1}(-b_c/b) < \cos^{-1}(-1) = \pi\\ \cos\left[\frac{1}{3}\cos^{-1}(-b_c/b)\right] > \cos(\pi/3) = 1/2\\ R_0 > \frac{b}{\sqrt{3}} > \frac{b_c}{\sqrt{3}} = 3M, $$ y $3M$ es la coordenada donde $V(r)$ tiene un máximo. La otra raíz (vamos a llamar a $R_1$) se encuentran entre $2M< R_1 < 3M$. Esta raíz se aplica a los fotones que se inician en radios muy pequeños $(2M < r < R_1)$ e intenta escapar, pero no puede ir más allá del punto de inflexión $R_1$, después de que ellos espiral hacia el centro.

Answer 2

No sé por qué él usa el nombre de la "más grande de la radio", pero físicamente es el radio de la más cercana de enfoque, que es la distancia mínima hasta el centro de la estrella en el punto de reflexión de la órbita. Ya que es un punto de reflexión $\dot{r}=0$ en la ecuación 6.3.14 $$ \frac{1}{2}\dot{r}^2 + V_{\text{fep}}(r) = \frac{1}{2}\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2r^2} \left( 1 - \frac{2M}{r}\right) = \frac{E^2}{2} $$ esto le da a $V_{\text{eff}} (R_o) = E^2/R$ que es $$ \frac{L^2}{2R_o^2} \left( 1 - \frac{2M}{R_o}\right) = \frac{E^2}{2} $$ que es justo \begin{align} &R_o^3 - b^2 (R_o - 2M) = 0 \\ &R_o^3 - b^2 (R_o - \frac{2b_c}{3\sqrt{3}}) = 0 \\ &4x^3 - 3x =- \frac{b_c}{b} \end{align} donde $x \equiv \frac{\sqrt{3}R_o}{2b}$. Ahora Wald quiere doblar sus algebraicas músculos para recordar una fórmula que dice $4\text{cos}^3\theta - 3\text{cos }\theta = \text{cos }3\theta$, por lo que la definición de $\text{cos }\theta\equiv x$ da $\theta = \frac{1}{3}\text{cos}^{-1}(-b_c/b)$ o, finalmente, $$ x = \text{cos }\left(\frac{1}{3}\text{cos}^{-1}\frac{-b_c}{b}\right)\qquad\Rightarrow\qquad R_o = \frac{2b}{\sqrt{3}} \text{cos }\left(\frac{1}{3}\text{cos}^{-1}\frac{-b_c}{b}\right) $$