subgrupo 2-transitivo de $S_n$ que contiene un ciclo de 3

Question

Bien, una última pregunta este semestre estoy muy estresado y no consigo entenderlo.

Tenemos que demostrar que si $G$ es un subgrupo doblemente transitivo de $S_n$ (es decir, para $(x,y)$ distinto, $(u,v)$ distinto, hay algo de $g$ tal que $g(x) = u$ y $g(y) = v$ ) y si $G$ contiene un triciclo, entonces $G = A_n$ ou $G = S_n$ .

En realidad, sólo estoy buscando pistas en la dirección correcta. Ahora mismo tengo la intuición de que puedo elegir dos elementos cualesquiera y mapearlos en cualquier lugar por la propiedad doblemente transitiva. Y creo que podemos usar eso para producir todos los 3 ciclos, dado que el grupo contiene un 3 ciclo. Y eso significa que tenemos al menos $A_n$ . Esto parece ser una manera un poco ad-hoc de hacerlo.

Answer 1

Así que para demostrar que contiene todos los triciclos, utilizamos la propiedad doblemente transitiva. Sabemos que $G$ contiene algún triciclo, llámalo $(x\ y\ z)$ . Así que por la propiedad doblemente transitiva, hay alguna $g$ tal que $g(x) = u$ , $g(y) = v$ . Así que, $G$ por lo tanto, debe contener $(u\ v\ z)$ . Además, hay algunos $g'\in G$ tal que $g'(u) = u$ y $g'(z) = w$ Así que $G$ contiene los tres ciclos $(u\ v\ w)$ para cualquier $u$ , $v$ y $w$ . Así, $G$ debe contener al menos los tres ciclos, por lo que $A_n\subseteq G$ .

Si contiene más que eso, entonces contiene alguna permutación impar $\sigma$ y podemos utilizarlo para producir el resto de $S_n$ .