Encontrar un derivado usando múltiples reglas de cadena

Question

Encuentra la derivada de la función. $y = [x + (x + \sin^2 x)^3]^4$

Sé cómo usar la regla de la cadena y descubrí que la derivada es:

ps

pero mi tarea en línea dice que esto está mal. No puedo entender qué he hecho mal y lo he intentado varias veces. ¿Alguien puede ayudar?

Nota: En el último término, simplifiqué$$4[x+(x+\sin^2(x))^3]^3 \cdot (1 + 3(x + \sin^2(x))^2) \cdot (1+\sin (2x))$ para que sea$2\sin x\cos x$. Intenté ingresar ambas versiones en mi tarea, pero fue incorrecta en ambos sentidos.

Answer 1

\begin{align} \textbf{wrong:} \quad & 4[x+(x+\sin^2(x))^3]^3 \cdot \Big(1 + 3(x + \sin^2(x))^2\Big) \cdot (1+\sin (2x)) \\[10pt] \textbf{right:} \quad & 4[x+(x+\sin^2(x))^3]^3 \cdot \Big(1 + 3(x + \sin^2(x))^2 \cdot(1+\sin (2x)) \Big) \end {align} Lo que se multiplica por$1+\sin(2x)$ debe ser solo$3(x+\sin^2 x)^2,$ no la suma de eso y$1$.

Answer 2

Puede ser una buena idea introducir algunas funciones nuevas para evitar problemas con los cálculos. Considera $$ y = g ^ 4 (x) $$ donde $$ g (x) = x + h ^ 3 (x) \ quad \ textrm {y} \ h (x) = x + \ sin ^ 2 x. $$ Entonces $$ y '= 4g ^ 3 (x) g' (x) $$ donde $$ g '(x) = 1 + 3h ^ 2 (x) \ cdot h' (x) $$ y $$ h '(x) = 1 + 2 \ sin x \ cos x. $$ Poniendo todo junto, tienes la respuesta: $$ y '= 4g ^ 3 (x) \ bigr (1 + 3h ^ 2 (x) \ cdot (1 + 2 \ sin x \ cos x) \ bigr) $$