Si $X_{n+1}$ es una martingala sujeta a $Y_0,\ldots,Y_n$ entonces es una martingala con respecto a $Y_0^2,\ldots,Y_n^2$ ?

Question

No tengo una base muy sólida en la teoría de la medida, y esto siempre me parece un poco confuso, así que agradecería cualquier ayuda.

Se nos da $E \left( X_{n+1} | Y_0,\ldots,Y_n \right) = X_n.$ Demostrar o refutar $E \left( X_{n+1} | Y_0^2,\ldots,Y_n^2 \right) = X_n$

Estoy pensando que si $F=\sigma \left(Y_0,\ldots,Y_n \right)$ y $G=\sigma \left(Y_0^2,\ldots,Y_n^2 \right)$ ¿tengo que demostrar que F = G? ¿Es esto correcto?

Entonces puedo hacer algo así: $E \left( X_{n+1} | G \right) = E \left( E \left( X_{n+1} | F \right) | G \right) = E \left( X_{n+1} | F \right) = X_{n+1}$ .

También es $E \left( X_{n+1}^2 | G \right) = X_n^2$ (una martingala) dada $E \left( X_{n+1} | Y_0,\ldots,Y_n \right) = X_n.$

Answer 1

Demostrar o refutar $E \left( X_{n+1} | Y_0^2,\ldots,Y_n^2 \right) = X_n$

Estoy pensando que si $F=\sigma \left(Y_0,\ldots,Y_n \right)$ y $G=\sigma \left(Y_0^2,\ldots,Y_n^2 \right)$ ¿tengo que demostrar que F = G? ¿Es esto correcto?

En realidad, $G\subseteq F$ y la inclusión puede ser estricta.

Entonces puedo hacer algo así: $E \left( X_{n+1} | G \right) = E \left( E \left( X_{n+1} | F \right) | G \right) = E \left( X_{n+1} | F \right) = X_{n+1}$ .

La tercera igualdad es errónea. Cuando $G\subseteq F$ , $E \left( E \left( X_{n+1} | F \right) | G \right)= E \left( X_{n+1} | G \right) \ne E \left( X_{n+1} | F \right)$ en general, por lo que esto no demuestra nada.

He aquí un contraejemplo de la afirmación que intenta demostrar: si $(Y_k)$ es una secuencia i.i.d. Bernoulli, entonces $Y_n^2=1$ por lo que es casi seguro que $E \left( X_{n+1} | Y_0^2,\ldots,Y_n^2 \right) = E(X_{n+1})\ne X_n$ en general.

También es $E \left( X_{n+1}^2 | G \right) = X_n^2$ (una martingala) dada $E \left( X_{n+1} | Y_0,\ldots,Y_n \right) = X_n.$

No. En realidad, por convexidad, $E \left( X_{n+1}^2 | G \right) \geqslant E \left( X_{n+1}| G \right)^2= X_n^2$ y la igualdad se mantiene si y sólo si $X_{n+1}$ es medible con respecto a $G$ .

Answer 2

$G \subseteq F$

Si sabemos $Y_0, Y_1, ...$ Entonces sabemos que $Y_0^2, Y_1^2, ...$ Lo contrario no es cierto.

$E[X|G] = E[E[X|F]|G]$ pero $E[X|F] \ne E[E[X|G]|F]$ .

$E[X|G] = E[E[X|F]|G]$ le permite demostrar que lo contrario de su conjetura es cierto.