Cálculo de los residuos de$f(z)=\frac{e^{az}}{1+e^z}$

Question

Deje$$f(z)=\frac{e^{az}}{1+e^z}$ $ donde$0<a<1$

¿Alguien puede ayudarme a encontrar los residuos de esta función?

Entonces$$e^z+1=0 \Rightarrow z=i\pi(1+2k)$$ where $ k \ in \ mathbb {Z} $, entonces estos son polos simples (si alguien pudiera explicar una forma simple de mostrar esto sería genial, aparte de la expansión)

ps

Así que estoy tratando de evaluar$$\lim_{z\rightarrow i\pi(1+2k)}\frac{(z-i\pi(1+2k))e^{az}}{1+e^z}=\lim_{z\rightarrow i\pi(1+2k)}\frac{a(z-i\pi(1+2k))e^{az}+e^{az}}{e^z}=e^a$, así que tendré que elegir un contorno con una altura fija; de lo contrario, la integral alrededor del contorno será igual a$\int_{\infty}^\infty f(z)$

Answer 1

Parece que el uso de l Hospital es bastante claro: $$ \lim_{z\i\pi(1+2k)}\frac{(z-i\pi(1+2k)) \mathrm{e}^{az}}{1+\mathrm{e}^z} = \mathrm{e}^{i\pi(1+2k)} \lim_{z\to 0}\frac{z \mathrm{e}^{az}}{1-\mathrm{e}^z} = \mathrm{e}^{i\pi(1+2k)} \lim_{z\to 0}\frac{\mathrm{e}^{az}\left(1 + z\right)}{-\mathrm{e}^z} = -\mathrm{e}^{i\pi(1+2k)} $$

Añadido: Entonces la integral es la suma sobre los polacos: $$ \int_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm{e}^{z}}{1+\mathrm{e}^z} \mathrm{d} z = 2 \pi i \sum_{k=0}^\infty -\mathrm{e}^{i\pi(1+2k)} = -2 \pi i \left(\frac{e^{i \pi}}{-1+e^{2 \pi}} \right) = \frac{\pi}{\sin(\pi)} $$

Answer 2

Cuando$g(z)$ tiene cero de orden uno en$z = z_0$ (verdadero aquí desde all$g''(z_0) \neq 0$), el residuo de$f(z)/g(z)$ en$z = z_0$ es$f(z_0)/g'(z_0)$ .

Entonces, para el polo en$z = (1 + 2\pi)ki$, el residuo es$e^{(1 + 2\pi)aki}/e^{(1 + 2\pi)ki} = - e^{(1 + 2\pi)aki}$.