Si $X$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb R$ $B=\{x_i; i\in I\}$ es una base de Hamel para $X$, entonces para cada a $i\in I$ tenemos un funcional lineal $a_i(x)$ que asigna a $x$ $i$- ésima coordenada, es decir, las funciones $a_i$ está determinada únicamente por las condiciones que $$x=\sum_{i\in I} a_i(x)x_i,$$ donde sólo un número finito de sumandos son no-cero.
Si $X$ es un espacio de Banach, entonces en la mayoría de un número finito de ellos puede ser continuo.
He aprendido el siguiente argumento de los comentarios en esta pregunta.
Supongamos que $\{b_i; i\in\mathbb N\}$ es un subconjunto infinito de $B$ de manera tal que cada una de las $f_{b_i}$ es continua. W. l.o.g. podemos suponer que la $\lVert{b_i}\rVert=1$.
Vamos $$y:=\sum_{i=1}^\infty \frac1{2^i}b_i.$$ (Desde $X$ es completa, por encima de la suma converge.)
También podemos denotar $y_n:=\sum_{i=1}^n \frac1{2^i}b_i$. Desde $y_n$ converge a$y$, $f_{b_k}(y)=\lim\limits_{n\to\infty} f_{b_k}(y_n)=\frac1{2^k}$ por cada $k\in\mathbb N$. Por lo tanto el punto de $x$ tiene infinitamente muchos no-cero de coordenadas, lo que contradice la definición de Hamel.
He tropezado con el Ejercicio 4.3 en el libro de Christopher Heil: Una Base de la Teoría de la Cartilla. Springer, Nueva York, 2011. En este ejercicio estamos trabajando en un infinito espacio tridimensional $X$. Básicamente la misma notación, como he mencionado anteriormente se presentó, $a_i$'s se llama coeficiente funcionales y luego se va como sigue:
(a) Mostrar con un ejemplo que es posible que algún particular funcional $a_i$ a de ser continuo.
(b) Mostrar que el$a_i(x_j) = \delta_{ij}$$i,j\in I$.
(c) Deje $J = \{i\in I : a_i \text{ is continuous}\}$. Mostrar que $\sup \{j\in J; \lVert a_j \rVert<+\infty\}$
(d) Muestran que, a lo sumo un número finito de funcionales $a_i$ puede ser continuo, es decir, $J$ es finito.
(e) Dar un ejemplo de un infinito-dimensional de la normativa del espacio lineal que tiene una base de Hamel $\{x_i; i\in I\}$ de manera tal que cada uno de los asociados coeficiente funcionales $a_i$ $i\in I$ es continua.
La parte (c) se puede mostrar fácilmente el uso de Banach-Steinhaus teorema (un.k.una. Uniforme de acotamiento principio). Pero supongo que el autor del libro tiene en mente una diferente de la prueba de la parte (d) de lo que he descrito anteriormente, ya que (c) es una sencilla consecuencia de (d) -- así que es probable que no se pueden poner en los ejercicios en este orden. (Pero tal vez sólo estaba tratando de leer mucho entre líneas.)
Pregunta: yo no era capaz de encontrar una prueba de od (d) que utiliza (c). ¿Tiene usted alguna idea de cómo hacer esto?
NOTA: Mi pregunta no es acerca de las partes (a), (b), (e). He incluido sólo para el bien de la integridad, con el fin de incluir suficiente contexto para la pregunta.
