Integración de algunas funciones de piso

Question

¿Alguien puede responder las siguientes preguntas?

1)$\int\left \lfloor{x}\right \rfloor dx$

2)$\int$$ \left \lfloor{\sin(x)}\right \rfloor $$dx$

3)$\int_0^2$$\left \lfloor{x^2+x-1}\right \rfloor$$dx$

4)$\int_o^\pi$$\left \lfloor{x(1+\sin(\pi x)}\right \rfloor$

También, ¿alguien puede hacerme entender la manera de proceder en este tipo de sumas?

$\left \lfloor{x}\right \rfloor$ es la función de piso

Gracias

Answer 1

Un problema relacionado . Haré el número$(3)$. Tenga en cuenta que para$n \in \mathbb{N} $ tenemos

ps

ps

ps

cuyos rendimientos

ps

Ahora, volvemos a la integral

ps

Nota: Creo que puede generalizar el proceso anterior para cualquier polinomio$$ n \leq x < n+1 $.

Answer 2

Voy a mostrar cómo realizar la integral dada por $3)$, ligeramente áspero camino.

• Sabemos que $p(x) = x^2 + x-1$ se encuentra entre $(-1,5)$ al $x \in (0,2)$ y, además, $p$ es monótona creciente en este intervalo.

• Cuando se aplica a $p(x)$, la función del suelo nos da el mayor entero menor o igual a $x$, por lo que es una buena idea calcular para qué valores de $x$, $p(x)$ llegar a un valor entero $p \in (-1,5)$. Tenemos: \begin{array}{|c|c|} \hline p(x) & x \\ \hline -1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{5}\right) \\ 1 & 1 \\ 2 & \frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{13}\right) \\ 3 & 1/2 (-1 + \sqrt{17}) \\ 4 & 1/2 (-1 + \sqrt{21}) \\ 5 & 2 \\ \hline \end{array} donde hemos solucionado $p(x) = p^* = -1,0,\ldots,5,$ en cada entrada de la tabla.

• Ahora, podemos ver que: $$\color{blue}{\int^2_0 \lfloor p(x) \rfloor \, \mathrm{d}x = \sum_{i=0}^5 (x^*_{i+1} -x^*_i) p^*_i}, $$ donde $x^*_i $ son los valores correspondientes de satisfacciones $p(x^*) = p^*$. Espero que esto te da algunas ideas de lo que está pasando.

Saludos!

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Estoy seguro de que una parcela de ambos $p(x)$ $\lfloor p(x) \rfloor$ hace las cosas más claras:

Answer 3

La función del suelo turnos continuos problemas de integración en problemas discretos, lo que significa que mientras que usted todavía está "buscando el área bajo una curva" todas las curvas de convertirse en rectángulos. En general, el proceso va a querer tomar va a ser algo como esto:

Considere la función (antes de tomar el piso de él), y mira donde la salida es un número entero. Por ejemplo, en el primer ejemplo $f(x)=x$, $f(x)$ es igual a un número entero cuando un número entero. El siguiente paso es ver lo que sucede entre estos puntos. De nuevo pensando en tu primer ejemplo, para $1 \leq x < 2$, el piso de la función de mapas de todo a 1, por lo que terminará con un rectángulo de ancho 1 y altura 1. Es de las áreas de estos rectángulos se necesita agregar para encontrar el valor de la integral (con cuidado para entender que los rectángulos debajo del eje x tienen "negativo zonas").

En el caso de los indefinidos integrales usted terminará para arriba con algunos resumen ya que no conoce los límites, en los demás, usted debería ser capaz de encontrar exacto de las respuestas numéricas.

Answer 4

$$\lfloor sinx\rfloor $ $ es igual a 0 o 1 o -1, por lo que integrarlo debería ser simple

Answer 5

A mí me parece que la integración de la función del suelo le da triangular números cuando la entrada es un número entero. Así que para esos casos, puede utilizar el triangular número de la fórmula, pero con $x-1$ en lugar de $x$ debido a que los valores se desplaza a la derecha en este caso.

$$\frac{(x-1)^2+(x-1)}2$$

A continuación, para dar cuenta de la porción de $x$ entre números enteros, hacemos esto:

$$\frac{(\lfloor x\rfloor-1)^2+(\lfloor x\rfloor-1)}2+(x-\lfloor x\rfloor)\lfloor x\rfloor$$

Para enteros negativos, tenemos:

$$\frac{-(x-1)^2-(x-1)}2$$

Y de nuevo tenemos que añadir sobre la no-parte entera:

$$\frac{-(\lfloor x\rfloor-1)^2-(\lfloor x\rfloor-1)}2-(x-\lfloor x\rfloor)\lfloor x\rfloor$$

Aspecto de la función para valores negativos de $x$ es la misma que la función para los valores positivos, pero multiplicado por $-1$. Así que si queremos una función a ser la respuesta para el problema #1, podemos tener:

$$sgn(x)\left(\frac{(\lfloor x\rfloor-1)^2+(\lfloor x\rfloor-1)}2+(x-\lfloor x\rfloor)\lfloor x\rfloor\right)$$