Antes de empezar, necesitamos un útil lema de álgebra:
Lema: Supongamos $G_1\overset{f}{\to} G_2\overset{g}{\to}G_3$ es una secuencia exacta de abelian grupos, y $G_1,G_3$ son finitely generado. A continuación, $G_2$ es finitely generado.
Prueba: tenga en cuenta que podemos romper la secuencia exacta en corto exacta secuencias como
$$\begin{align}
0\to \ker f\to &G_1 \to \mathrm{im}\:f \to 0\\\\
0 \to \mathrm{im}\: f\to &G_2 \to \mathrm{im}\: g\to 0\\\\
0\to \mathrm{im}\: g\to &G_3 \to \mathrm{coker}\: g\to 0\\\\
\end{align}$$
Recordar que todo subgrupo de un finitely generado abelian grupo es finitely generados, por lo $\mathrm{im}\: g$ es finitely generado, digamos por $a_1,\ldots,a_n$. Además, cada imagen homomórfica de un finitely generado grupo es finitely generados, por lo $\mathrm{im}\:f$ es finitely generado, digamos por $b_1,\ldots,b_k$. Un simple cálculo muestra que $g^{-1}(a_1),\ldots,g^{-1}(a_n),f(b_1),\ldots,f(b_k)$ generar $G_2$ para cualquier elección de matrices inversas.
El siguiente lema es elemental, pero puedo demostrar que para la integridad:
Lema: Para cualquier compacto colector $M$, es una colección de cerrado contráctiles conjuntos de $\{A_i\}_{i=1}^m$ tal de que el interior de la cubierta $M$.
Prueba: Supongamos $(U_x,\phi_x)$ ser una familia de gráficos para $M$ tal que para todo $x\in M$, $x\in \phi_x(U_x)$. Deje $B_x\subseteq U_x$ ser un open de bola y $B_x'\subset B_x$ el open de bola con el mismo centro, pero la mitad del radio. A continuación, $\phi_x(B_x')$ cubierta $M$, por la compacidad tenemos $x_1,\ldots,x_m\in M$ tal que $M=\bigcup\limits_{i=1}^m\phi_{x_i}(B_{x_i}')$. Desde $\phi_x:B_x\to \phi_x(B_x)$ es un homeomorphism y $\overline{B_x'}\subset B_x$, la restricción de $\phi_x$ $\overline{B_x'}$es un homeomorphism a su imagen, y esta imagen es $\overline{\phi_x(B_x')}$. Por lo tanto $\overline{\phi_x(B_x')}^\circ=\phi_x\left(\overline{B_x'}^\circ\right)=\phi_x(B_x')$ $\overline{\phi_x(B_x')}$ es contráctiles. Dejando $A_i=\overline{\phi_{x_i}(B_{x_i}')}$ termina la prueba.
La prueba del Teorema: vamos a introducir en $r$. Ya lo ha hecho en el caso base $r=0$. Supongamos que para cualquier colector compacto $M$, $H_r(M,G)$ es finitely generado. Deje $\{A_i\}_{i=1}^m$ ser como en el lema. Nos introducirá en $m$. Si $m=1$ el resultado es trivial. Supongamos $H_{r+1}(M,G)$ es finitely generado por cualquier $M$ que puede ser cubierta por $m$ estos conjuntos, y deje $M'$ será cubierto por $m+1$ estos conjuntos. Deje $A=\bigcup\limits_{i=2}^{m+1} A_i$. Entonces M-V ofrece una secuencia
$$H_{r+1}(A,G)\cong H_{r+1}(A_1,G)\oplus H_{r+1}(A,G)\to H_{r+1}(M',G)\to H_r(A_1\cap A,G)$$
y por nuestras dos hipótesis inductiva $H_{r+1}(A,G)$ $H_r(A_1\cap A,G)$ son finitely generado. Por lo tanto, por el lema, $H_{r+1}(M',G)$ es finitely generado. Inducción en $m$ muestra que esto representa para todos los $m$, y luego de la inducción en $r$ muestra que esto representa para todos los $r$.
*He utilizado originalmente abrir conjuntos de $A_i$, pero, a continuación, $A$ $A_1\cap A$ en la principal prueba no son realmente compacto colectores, por lo que la inducción de la falla. Tenga en cuenta que contractibilidad de las intersecciones no es necesario en esta prueba. De hecho, todo lo que es necesario es que la homología de grupos de cada una de las $A_i$ ser finitely generado.
