¿Qué es esta serie polinómica?

Question

Me he encontrado con una serie de polinomios sencilla, pero peculiar, para la que no encuentro una fórmula general.

Dice así:

$$1$$ $$x+1$$ $$x^2+x+2$$ $$x^3+x^2+2x+6$$ $$x^4+x^3+2x^2+6x+24$$ $$\vdots$$

Estoy encontrando estos polinomios mirando un término en el $n^{th}$ integral de Ei(x).

Por ejemplo, la 5ª integral de Ei(x) es;

$$\frac{1}{120}(x^5Ei(x)-e^x(x^4+x^3+2x^2+6x+24))$$

Answer 1

Dejemos que $F_0(x) = \text{Ei}(x)$ .
Parece que $F_n(x) = \text{Ei}(x) \frac{x^n}{n!} - \frac{e^x}{n!} P_n(x)$ donde $P_n$ es un polinomio de grado $n-1$ para $n \ge 1$ y $F_n'(x) = F_{n-1}(x)$ , que se traduce en $$ P_n'(x) + P_n(x) = P_{n-1}(x) + x^{n-1}$$ Me sale $$ \eqalign{P_1(x) &= 1\cr P_2(x) &= x+1\cr P_3(x) &= {x}^{2}+x+2\cr P_4(x) &= {x}^{3}+{x}^{2}+2\,x+6\cr P_5(x) &= {x}^{4}+{x}^{3}+2\,{x}^{2}+6\,x+24\cr P_6(x) &= {x}^{5}+{x}^{4}+2\,{x}^{3}+6\,{x}^{2}+24\,x+120\cr P_7(x) &= {x}^{6}+{x}^{5}+2\,{x}^{4}+6\,{x}^{3}+24\,{x}^{2}+120\,x+720\cr}$$

Parece que $$P_n(x) = \sum_{m=0}^{n-1} (n-1-m)! x^m$$ que debería ser fácil de demostrar por inducción.

Answer 2

A partir de los polinomios dados, mi suposición es,

$$p_n(x)=\sum_{i=0}^n (n-i)!\cdot x^i$$

con la lista a partir de $n=0$

Answer 3

Ahora que la pregunta ha sido editada, mi antigua respuesta no se mantiene, pero esta nueva secuencia tiene un patrón más fácil:

Cada diagonal lo es:

1, mult por 1 , mult por 2, mult por 3, mult por 4,...

Así que.., $1$ , $1 \times 1 = 1$ , $1 \times 2 = 2$ , $2 \times 3 = 6$ , $6 \times 4 = 24$ ...

Así que es sólo $(n-1)!$ como la enésima entrada de una diagonal cualquiera.

Answer 4

Esos son factoriales : $1=0!,1=1!,2=2!,6=3!,24=4!,...$

Answer 5

Respuesta antigua antes de la edición de la pregunta :

La diferencia en la pregunta anterior era que el último coeficiente del último polinomio era $4$ y no $24$ y el último coeficiente del penúltimo polinomio era 2 y no 6 .

Esta no es una respuesta completa, sino un patrón interesante: Una observación interesante es que cualquier coeficiente de una fila es la suma de todos los coeficientes de una fila anterior cuyo número de fila también es menor o igual que el divisor primo más pequeño del número de fila. (Lo contrario también es válido: la suma de los coeficientes de una fila menor cuyo número de fila es menor o igual que el primo más pequeño que divide una fila aparecerá como un coeficiente)

Por ejemplo, en la fila $2$ todos los coeficientes son $1$ ya que el único coeficiente de la fila $1$ fue $1$ . En la fila $3$ tenemos un coeficiente $2$ ya que la suma de los coeficientes de la fila $2$ fue $2$ y tenemos un coeficiente $1$ ya que la suma de los coeficientes de la fila $1$ fue $1$ . En la fila $4$ el divisor primo más pequeño es $2$ , por lo que sólo se nos permiten los coeficientes $1$ y $2$ . En la fila $5$ tenemos los coeficientes $6$ (desde la fila 4), $4$ (desde la fila 3), $2$ (de la fila 2), y $1$ (desde la fila 1).

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Un poco de diversión: Esta pregunta y mi respuesta me recordaron un poco a este cómic: http://spikedmath.com/comics/062-the-iq-test.png :)