¿Es este problema de control óptimo lineal incontrolable?

Question

Si alguien me pudiera ayudar con este problema estaría muy agradecido.

El sistema de Control de $$\dot{x}=x+u$$ De $$x(0)=0 \space to\space x(T)=2$$ Donde $T\in\mathbb{R}_+$ es gratis

s.t. $$J=\int_{0}^{T}\frac{1}{2}u^2dt$$ es mínimo.

Mi Enfoque

Vamos $$ \\f_0(t,x,u)=\frac{1}{2}u^2 \\f_1(t,x,u)=x+u $$

El Hamiltoniano de este problema está dada por: $$ \\H=-f_0+\psi \times f_1 \\=-\frac{1}{2}u^2+\psi(x+u) $$

Por el PMP, queremos elegir a $u$ s.t. maximiza $H$, $$ \\\frac{\partial H}{\partial u}=0 \\\Rightarrow\psi=u $$

El costate ecuación nos da $$ \\\dot\psi= -\frac{\partial H}{\partial x} \\\Rightarrow\dot\psi=-\psi \\\Rightarrow\psi=Ae^{-t} $$

Subbing esta de vuelta en el sistema da $$ \\x(t)=Be^{t}-\frac{A}{2}e^{-t} \\u(t)=Ae^{-t} $$

Ahora a lo largo de la trayectoria óptima, de nuevo por el PMP, $H$ debe $0$. Como esto se aplica a lo largo de cualquier punto de la trayectoria, tenemos (después de un poco de álgebra) $$ \\H(t=0)=0 \\\Rightarrow a = 0 \espacio o espacio \B = 0 $$

Ahora esto es donde estoy confundido, si $A=0$ o $B=0$ hemos

$$x(t) = -\frac{A}{2}e^{-t} \space or \space x(t) = Be^{t} $$

Pero dado $x(0)=0$ que implicaría que en ambos casos $x(t)=0$. Que claramente no da la solución óptima ya que nunca va a llegar a $x(T)=2$.

No estoy seguro de si he cometido algún error fundamental a lo largo de la manera, o si el sistema no es controlable, pero agradecería un poco de orientación de cualquier manera.

Answer 1

OK, comenzó bien, pero algo salió mal. Has encontrado $u(t)=\psi(t)$. Eso es correcto. La ecuación de $\psi(t)$ es correcto. Voy a escribir como $\psi(t)=\psi_0 e^{-t}$ donde $\psi_0=\psi(0)$.

A continuación, se sustituye su $u(t)=\psi(t)$ en el DE de $x$, es decir, $\dot{x}=x+\psi_0e^{-t}$, y resolver para conseguir lo $$x(t)=x_0e^t + \int_0^t e^{t-\tau}\psi_0 e^{-\tau}d\tau=x_0 e^t + \psi_0 \frac{e^t-e^{-t}}{2}.$$ Teniendo en cuenta que el $x(0)=0$ y el uso de algunos trigonometría hiperbólica notación obtenemos $$x(t)=\psi_0 \sinh(t).$$ Sigue sustitute el tiempo final $T$ y resolver la ecuación anterior para obtener $\psi_0=\frac{2}{\sinh(T)}$ donde usted puede calcular el óptimo control de la etc.

AÑADIDO: Supongamos ahora que $T$ es gratis. Podemos calcular la función de costo $J=\frac{4}{e^{2T}-1}$, que alcanza el mínimo en $T\to \infty$ que es equivalente a $\psi_0=0$ y, por lo tanto, $u(t)=0$. Esto implica que el problema no tiene solución.

Es interesante que para $T>5$ el coste $J$ se convierte en infinitamente pequeño, por lo que uno puede conseguir una prácticamente en la solución óptima mediante el establecimiento $T$ a una constante arbitraria de más de 5. Pero esta es una historia diferente.