pdf de la diferencia de dos exponencialmente distribuido variables aleatorias

Question

Supongamos que tenemos $v$$u$, ambos son independientes y están exponencialmente distribuidos al azar de las variables con los parámetros de $\mu$$\lambda$, respectivamente.

¿Cómo podemos calcular el pdf de $v-u$?

Answer 1

Yo también prefiero llamar a las variables aleatorias $X$$Y$. Usted puede pensar de $X$ $Y$ como los tiempos de espera para las dos cosas (decir $A$ $B$ respectivamente) a suceder. Supongamos que tenemos que esperar hasta el primero de ellos sucede. Si es $A$, entonces (por la falta de propiedad de la memoria de la distribución exponencial) el tiempo de espera hasta $B$ sucede todavía tiene el mismo distribución exponencial como $Y$; si es $B$, el mayor tiempo de espera hasta $A$ sucede todavía tiene la misma distribución exponencial como $X$. Que dice que la distribución condicional de $X-Y$ $X > Y$ es la distribución de $X$, y la distribución condicional de $X-Y$ $X < Y$ es la distribución de $-Y$. Desde $P(X>Y) = \frac{\lambda}{\mu+\lambda}$, lo que dice el PDF para $X-Y$ es $$f(x) = \frac{\lambda \mu}{\lambda+\mu} \casos{e^{-\mu x} & si $x > 0$\cr e^{\lambda x} & si $x < 0$\cr}$$

Answer 2

La respuesta correcta depende mucho de lo que su formación matemática. Voy a suponer que usted ha visto algunos de cálculo de varias variables, y no mucho más que eso. En lugar de utilizar su $u$$v$, voy a utilizar $X$$Y$.

La función de densidad de $X$ $\lambda e^{-\lambda x}$ ( $x \ge 0$ ), y $0$ en otros lugares. Hay una expresión similar para la función de densidad de $Y$. Por la independencia, la conjunta de la función de densidad de $X$ $Y$ es $$\lambda\mu e^{-\lambda x}e^{-\mu y}$$ en el primer cuadrante, y $0$ en otros lugares.

Deje $Z=Y-X$. Queremos encontrar la función de densidad de $Z$. En primer lugar vamos a encontrar la función de distribución acumulativa $F_Z(z)$$Z$, es decir, la probabilidad de que $Z\le z$.

Así que queremos que la probabilidad de que $Y-X \le z$. La geometría es un poco diferente al $z$ es positivo que cuando se $z$ es negativo. Haré $z$ positivo, y usted puede tomar el cuidado de negativo $z$.

Considere la posibilidad de $z$ fija y positiva, y dibujar la línea de $y-x=z$. Queremos hallar la probabilidad de que el par ordenado $(X,Y)$ termina debajo de esa línea o en él. La única relevantes de la región en el primer cuadrante. Así que vamos a $D$ ser parte del primer cuadrante que se encuentra por debajo o en la línea $y=x+z$. Entonces $$P(Z \le z)=\iint_D \lambda\mu e^{-\lambda x}e^{-\mu y}\,dx\,dy.$$

Vamos a evaluar esta integral, mediante una integral iterada. En primer lugar vamos a integrar con respecto a $y$, y, a continuación, con respecto a $x$. Tenga en cuenta que $y$ viajes de$0$$x+z$, y, a continuación, $x$ viajes de $0$ hasta el infinito. Así $$P(Z\le x)=\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}\left(\int_{y=0}^{x+z} \mu e^{-\mu y}\,dy\right)dx.$$

El interior de la integral resulta ser $1-e^{-\mu(x+z)}$. Así que ahora tenemos que encontrar $$\int_0^\infty \left(\lambda e^{-\lambda x}-\lambda e^{-\mu z} e^{-(\lambda+\mu)x}\right)dx.$$ La primera parte es fácil, es $1$. La segunda parte es algo de rutina. Terminamos con $$P(Z \le z)=1-\frac{\lambda}{\lambda+\mu}e^{-\mu z}.$$ Para la función de densidad de $f_Z(z)$$Z$, diferenciar la función de distribución acumulativa. Tenemos $$f_Z(z)=\frac{\lambda\mu}{\lambda+\mu} e^{-\mu z} \quad\text{for $z \ge 0$.}$$ Tenga en cuenta que sólo se ocupa de positivos $z$. Una muy similar argumento obtendrá $f_Z(z)$ a los valores negativos de $z$. La principal diferencia es que el final de la integración es de$x=-z$.

Answer 3

Hay una forma alternativa de obtener el resultado mediante la aplicación de la Ley de Total Probabilidad:

$$P[W] = \int_Z P[W \a mediados de Z = z]P[Z=z]dz$$

Como otros lo han hecho, vamos a $X \sim \exp(\lambda)$$Y \sim \exp(\mu)$. Lo que sigue es la única poco intuitivo paso: en lugar de calcular directamente el PDF de $Y-X$, primero se calcula la CDF: $P[X-Y \leq t]$ (a continuación, podemos diferenciar al final).

$$P[Y - X \leq t] = P[Y \leq t+X]$$

Aquí es donde vamos a aplicar total probabilidad de obtener

$$= \int_0^\infty P[Y \leq t+X \a mediados de X=x]P[X=x] dx$$ $$= \int_0^\infty P[Y \leq t+x]P[X=x] dx = \int_0^\infty F_Y(t+x) f_X(x) dx$$ $$= \int_0^\infty (1 - e^{-\mu(t+x)}) \lambda e^{-\lambda x} dx = \lambda \int_0^\infty e^{-\lambda x} dx - \lambda e^{-\mu t} \int_0^\infty e^{-(\lambda+\mu)x} dx$$ $$= \lambda \left[ \frac{e^{-\lambda x}}{-\lambda} \right]^\infty_0 - \lambda e^{-\mu t} \left[ \frac{e^{-(\lambda+\mu)x}}{-(\lambda+\mu)} \right]^\infty_0 =1 - \frac{\lambda e^{-\mu t}}{\lambda+\mu}$$

La diferenciación de esta última expresión nos da el PDF:

$$f_X(t) = \frac{\lambda \mu e^{-\mu t}}{\lambda+\mu}$$