Simplificando múltiples expresiones integrales

Question

Supongamos que tengo las siguientes expresiones integrales múltiples ...

\begin{align} I_1 = {} & \int_x^{x+1}x_1^n\,dx_1 \\[10pt] I_2 = {} & \int_x^{x+1}\int_0^{x_1}x_2^n\,dx_2\,dx_1-\int_0^xx_1^n\,dx_1 \\[10pt] I_3 = {} & \int_x^{x+1}\int_0^{x_1}\int_0^{x_2}x_3^n\,dx_3\,dx_2\,dx_1-\int_0^x \int_0^{x_1} x_2^n\,dx_2\,dx_1-\frac{1}{2}\int_0^xx_1^n\,dx_1 \\[10pt] I_4 = {} & \int_x^{x+1}\int_0^{x_1} \int_0^{x_2} \int_0^{x_3} x_4^n \,dx_4 \,dx_3 \,dx_2\,dx_1 -\int_0^x\int_0^{x_1} \int_0^{x_2} x_3^n \,dx_3\,dx_2\,dx_1 \\[5pt] & {} -\frac{1}{2} \int_0^x \int_0^{x_1} x_2^n \, dx_2 \, dx_1-\frac{1}{6}\int_0^xx_1^n \, dx_1 \end{align}

¿Hay alguna manera de generalizar estas expresiones para casos cada vez mayores de$I_k$? Claramente hay un patrón, pero escribir esto para$I_k, k>4$ parece desalentador y no estaba seguro de si había una forma acordada de 'compactar' estos tipos de expresiones.

Answer 1

Para$k \in \mathbb{N}$,$$I_k=n! \left(\frac{(x+1)^{n-k}}{(n+k)!}-\sum_{a=1}^{k}\frac{x^{n+a}}{(n+a)!(k-a)!}\right)$ $