Bicondicional

Question

Deje $\|U \|_p = \left( E[|U|^p] \right)^{\frac{1}{p}}$.

Es el resultado siguiente afirmación verdadera?

Deje $U$ $V$ apuesta de dos independientes, simétrica, no degenerada azar variables. Entonces, \begin{align*} \| U+\|V\|_r\|_m =\| U+V \|_m \end{align*} si y sólo si $r=m=2$.

Tenga en cuenta que el "si" de las direcciones es trivial ya que \begin{align} E[(U + \|V\|_2)^2]= E[U^2]+E[V^2]=E[(U+V)^2]. \end{align}

La pregunta es cómo mostrar el "si" de dirección.

También creo que esto debería haber llegado en algún lugar. Por ejemplo, se relaciona de alguna manera con el hecho de que $L^2$ norma es la única $L_p$ norma inducida por el producto interior? De todos modos, esto es sólo un pensamiento, y la pregunta no es sobre el interior de los productos.

Answer 1

Este hecho parece ser falso. Permita que$U$ y$V$ sean variables aleatorias con soporte sobre$\{-1,1\}$.

• Como$|V|=1$, concluye que$||V||_{r}=1$. Por lo tanto, $|U+||V||_{r}|=|U+1|$. Como$U$ tiene una distribución simétrica,$P(|U+1|=0)=P(|U+1|=2)=0.5$. Concluye esto $P(|U+||V||_{r}|=0)=P(|U+||V||_{r}|=2)=0.5$
• Como$U$ y$V$ son simétricos e independientes$P(|U+V|=0)=P(|U+V|=2)=0.5$.

Como$|U+||V||_{r}|$ y$|U+V|$ tienen la misma distribución, conéctese que$||U+||V||_{r}||_{m}=||U+V||_{m}$. Tenga en cuenta que$m$ y$r$ fueron arbitrarios.