No es difícil, sólo un poco difícil.
Deje $w(x)=\log(1-x)+x+\frac{x^2}2=-\frac{x^3}3-\frac{x^4}4-\dots$. Tenemos que demostrar que el producto de la $f(p)=\int_0^1\frac 1{1-x}e^{(1+p)^2w(x)}\,dx$ $p$ es cada vez mayor. Tenga en cuenta que $-w'(x)=\frac 1{1-x}-1-x$, lo $f(p)=\frac 1{(1+p)^2}+\int_0^1(1+x)e^{(1+p)^2w(x)}\,dx=\frac{1}{(1+p)^2}+g(p)$.
Reivindicación 1: La función de $u(p)=(p+1)g(p)$ es cada vez mayor.
De hecho, ninguna de $q>p$ y definen $a=\frac{1+p}{1+q}$. Cuenta ahora de que $w$ es decreciente y $(1+q)^2 w(a^{2/3}x)\ge (1+p)^2 w(x)$, por lo que es suficiente para mostrar que para cada $y\in(0,1)$, tenemos
$$
\int_0^{^{2/3}y}(1+x)\,dx=a^{2/3}y+a^{4/3}\frac{y^2}2\ge un\int_0^y(1+x)\,dx=ay+\frac{y^2}2
$$
Pero desde $\frac{y^2}2<y$, los dos términos de la izquierda tienen el mismo producto de los dos términos de la derecha, pero están más lejos, así que esto es obvio.
Reivindicación 2: $u(p)\ge 1$.
De hecho, hemos
$$
u(p)\ge u(0)=g(0)=\int_0^1(1-x^2)e^{x+\frac{x^2}2}\,dx\ge\int_0^1(1-x^2)(1+x+x^2)\,dx
\\
=1-\frac 13+\frac 12-\frac 14+\frac 13-\frac 15=1+\frac 14-\frac 15>1\,.
$$
Ahora es el momento para diferenciar $pf(p)=\frac{p}{(1+p)^2}+u(p)\frac{p}{1+p}$. Tenemos
$$
\frac 1{(1+p)^2}-\frac{2}{(1+p)^3}+\frac{u(p)}{(1+p)^2}+u'(p)\frac{p}{1+p}> \frac{1+u(p)-2}{(1+p)^2}+u'(p)\frac{p}{1+p}\ge 0\,.
$$
El final.
