¿Un límite infinito?

Question

La siguiente pregunta tiene un límite finito $\left( {{{11e} \over {24}}} \right)$, que puede ser fácilmente obtenida a partir del método de las expansiones. Pero me da un límite infinito, y no estoy exactamente seguro de donde me han ido mal. Por favor, hágamelo saber también la razón de por qué un determinado paso no puede llevarse a cabo.

Pregunta - $$Evaluate\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{{(1 + x)}^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$} \kern-0.1 em/\kern-0.15 em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle x$}}}} - e + {\estilo de texto{1 \over 2}}ex} \over {{x^2}}}$$ Mi Try - $$\eqalign{ Y vamos a\,\,L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{{(1 + x)}^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$} \kern-0.1 em/\kern-0.15 em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle x$}}}}} \más de {{x^2}}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{e - {\estilo de texto{1 \over 2}}ex} \over {{x^2}}} \cr Y vamos a\,\,{L_1} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \log \left ( {{{{{(1 + x)}^{{\estilo de texto{1 \over x}}}}} \over {{x^2}}}} \right)}}\,\,y\,{L_2} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \log \left( {{{e - {\estilo de texto{1 \over 2}}ex} \over {{x^2}}}} \right)}} \cr & {L_1} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{{\log (1 + x)} \over x} - \log ({x^2})} \right)}}\,\,y\,{L_2} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \log \left( {e\left( {1 - {\estilo de texto{x \over 2}}} \right)} \right) - \log {x^2}}} \cr & {L_1} = {e^{1 - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \log {x^2}}}\,y\,\,{L_2}\, = \,{e^{1 + }}^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \log \left( {1 - {\estilo de texto{x \over 2}}} \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \log {x^2}} \cr & L = {L_1} - {L_2} = {e^{1 - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \log {x^2}}} - {e^{1 - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \log {x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \log \left( {1 - {\estilo de texto{x \over 2}}} \right)}} \cr & \,\,\,\,\, = \,\,{e^{1 - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \log {x^2}}}.\a la izquierda( {1 - {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \log \left( {1 - {\estilo de texto{x \over 2}}} \right)}}} \right) \cr & \,\,\,\,\, = \,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {e \over {{x^2}}}\left( {1 - \left( {1 - {\estilo de texto{x \over 2}}} \right)} \right) \cr & \,\,\,\,\, = \,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,{e \over {2x}} = \infty \cr} $$

Answer 1

En su primer paso, no se puede romper un límite en la resta de los dos límites, a menos que de las otras dos límites existen. El teorema:

$\lim _{x\to a} (f(x)+g(x))=\lim _{x\to a}f(x) +\lim _{x\to a}g(x)$ SÓLO es válido si los dos límites en el lado derecho de existir. En su caso, el segundo límite claramente no existe, porque se va al infinito.

---

De edición para mayor claridad, ni tampoco el primer límite. Así, en efecto, lo que traté de hacer fue hacer de este un $\infty - \infty$, que no funciona como un patrimonio separado de los límites, pero no trabajar juntos (a veces)

Answer 2

IF $\lim f(x) = k$ y $\lim g(x) = j$ luego entonces $\lim [ f(x)\pm g(x)] = \lim f(x) \pm \lim g(x)$ pero solamente si ambos límites de $f(x)$ existen y son finitos.

podemos tomar esto un paso más. Si no existe $\lim f(x) = k$ $\lim g(x)$ $\lim [f(x) \pm g(x)]$ no existe. Podemos incluso tomar lo que para eso si $\lim f(x) = \infty$ y $\lim g(x) = \inf$ y $\lim [f(x) + g(x)]=\infty$

Pero si $\lim f(x)= \infty$ y $\lim g(y) = \infty$ (o sea no existe) entonces $\lim [f(x) - g(x)]$ no es determinable (esto solo en cualquier caso.)

Un ejemplo contrario obvio es $1= \lim 1 = \lim [(x+1) - x]\ne \lim (x+1) - \lim x \text{ air quotes "equals"-- wink-wink } \infty - \infty = \text{who the heck knows}$.