Cómo comprobar si $\sum_{\ell\in\mathbb{Z^2}} e^{-\vert x-\ell \vert^2}=\sum_{\ell\in\mathbb{Z^2}} e^{-\vert y-\ell \vert^2}$ ?

Question

Supongamos que $x, y\in\mathbb{R}^2$ son tales que $\vert x \vert=\vert y \vert$ (donde $\vert x \vert$ denota la norma euclidiana). Quiero investigar, si los siguientes límites son iguales o no:

$$\sum_{\ell\in\mathbb{Z^2}} e^{-\vert x-\ell \vert^2}=\sum_{\ell\in\mathbb{Z^2}} e^{-\vert y-\ell \vert^2}$$

Si $y=-x$ entonces ambos límites son iguales. Pero, ¿qué ocurre si el ángulo entre $x,y$ está entre $0$ et $\pi$ ? He intentado utilizar $\vert x-\ell\vert^2=\vert x \vert^2 - 2\vert x \vert\vert y \vert\cos(\angle(x,\ell))+ \vert \ell\vert ^2$ pero no me ayudó.

¿Puede alguien decirme cómo enfocar este problema?

Saludos cordiales

Answer 1

Para cualquier $z=(z_1,z_2)\in\mathbb{R}^2$ tenemos $$ g(z_1,z_2)=\sum_{(x,y)\in\mathbb{Z}^2}e^{-(x-z_1)^2-(y-z_2)^2}=\sum_{s\in\mathbb{Z}}e^{-(s-z_1)^2}\sum_{t\in\mathbb{Z}}e^{-(t-z_2)^2}=f(\{z_1\})\cdot f(\{z_2\})$$ donde $$ f(z) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} e^{-(z-n)^2} = \sqrt{\pi}\sum_{k\in\mathbb{Z}}e^{-k^2 \pi^2}e^{-2\pi k i z}=\sqrt{\pi}+2\sqrt{\pi}\sum_{k\geq 1}e^{-k^2\pi^2}\cos(2\pi k z)$$ se deduce del Fórmula sumatoria de Poisson . En particular $g(z_1,z_2)$ es siempre bastante cerca de $\pi$ ya que los coeficientes de la última serie coseno de Fourier decaen a cero muy rápidamente, y si $(\pm u_1,\pm u_2)$ (para cierta elección de signos) y $(v_1,v_2)$ son el mismo elemento de $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ tenemos la igualdad exacta $g(u_1,u_2)=g(v_1,v_2)$ .

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Corolario : $$ \frac{1}{4}\left[\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-n^2}+\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-\left(n-\frac{1}{2}\right)^2}\right]^2 $$ es un excelente aproximación de $\pi$ .