Triple pitagórico donde $a=b$ ?

Question

No encuentro ni una sola página web que mencione este tema. Soy programador y estoy buscando un triángulo 45-45-90 donde todos los lados son números enteros . En el video que estoy viendo, dicen que hay que usar $ a = 10 $ , $ a = 10 $ , $ c = 14 $ porque $ 10 \sqrt{2} $ está lo suficientemente cerca de $ 14 $ . En mi programa me preocupa que esto pueda tener graves consecuencias porque no es preciso.

¿Existe un caso en el que $ 2 a^2 = c^2 $ donde a y c son números enteros ?

Si no existe, ¿por qué? ¿Gira en torno al hecho de que $ \sqrt{2} $ es irracional?

Answer 1

Sí, gira en torno al hecho de que $\sqrt{2}$ es irracional.

Porque si hubiera enteros $a$ y $c$ tal que $a^2 + a^2 = c^2$ entonces $2a^2 = c^2$ o $2 = \left(\frac{c}{a}\right)^2$ . Por lo tanto, $\sqrt{2}$ es racional $\Rightarrow\Leftarrow$ .

Answer 2

No hay ningún triángulo rectángulo isósceles con lados enteros. Eso equivale a que la raíz cuadrada de $2$ es irracional. La secuencia $$ 3/2, 7/5 , 17/12, \ldots $$ proporciona aproximaciones racionales a $\sqrt{2}$ tan preciso como usted desee. Aquí $a/b$ corresponde a la solución $$ a^2 - 2b^2 = \pm 1 $$ a La ecuación de Pell .

Si se avanza lo suficiente en esa secuencia, se podrá encontrar una aproximación lo suficientemente buena para su programa.

Answer 3

Sí, es sólo el hecho de que $\sqrt{2}$ es irracional. Supongamos que existe tal triángulo rectángulo. Entonces $n=1$ sería un número congruente es decir, el área de un triángulo rectángulo de lados racionales. Según Fermat, para el exponente $4$ No lo es.